Formelsammlung Tensoralgebra

Notation

• Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
  • i, j, k, l, m, n ∈ {1, 2, 3}
  • p, q, r, s ∈ {1, 2, …, 9}
  • u, v ∈ {1, 2, …, 6}
• Nicht tief oder hoch gestellte Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben wie , â bezeichnet.
    Ausnahme: #Dualer axialer Vektor A_×
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von 𝕍 ist ê_1,2,3.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie mit einem Pfeil versehen. Der Name ohne Pfeil gibt den Betrag an:
      ＝ a â.
  • Dreiergruppen von Vektoren wie ₁, ₂, ₃ oder ¹, ², ³ bezeichnen Basen von 𝕍.
  • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist ₁, ₂, ₃ dual zu ¹, ², ³.
  • Als #Orthonormalbasis­vektoren werden â, ĉ, ê, ĝ, ĥ und û_1,2,3 benutzt.
• Tensoren zweiter Stufe sind Element des Vektorraums 𝓛 und bilden Vektoren aus 𝕍 nach 𝕍 ab. Sie werden wie A mit fetten Großbuchstaben notiert. Ausnahme: #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix [­]_×. Tensoren vierter Stufe werden doppelt gestrichen geschrieben wie beispielsweise 𝔸 und bilden Tensoren aus 𝓛 nach 𝓛 ab. Analoges zu den Vektoren oben gilt bei Tensoren zweiter Stufe:
  • Neunergruppen von Tensoren wie in H₁, …, H₉ oder G¹, …, G⁹ bezeichnen eine Basis von 𝓛.
  • Gleichnamige „Basistensoren“ mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist G₁, …, G₉ dual zu G¹, …, G⁹.
• Es gilt die Einstein’sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in c ＝ a_i bⁱ wird über diesen Index summiert:
     c ＝ a_i bⁱ ＝ a_i bⁱ.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in c ＝ A_pq B^pq wird über diese summiert:
     c ＝ A_pq B^pq ＝ ${\displaystyle \sum _{{\mathsf {p}}=1}^{9}\sum _{{\mathsf {q}}=1}^{9}}$ A_pq B^pq.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie u in a_u ＝ A_uv b_v, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
     a_u ＝ A_uv b_v bedeutet a_u ＝ ${\displaystyle \sum _{{\mathsf {v}}=1}^{6}}$ A_uv b_v für alle u ∈ {1, …, 6}.
  • Wird die Summation mit explizit gefordert, ist die Summenkonvention außer Kraft gesetzt.

Glossar

Reservierte und besondere Symbole

Weitere Informationen Formel­zeichen, Abschnitt in der Formel­sammlung ...

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
1	#Einheitstensor zweiter Stufe	Einheitstensor
𝟙, 𝕀	#Einheitstensor vierter Stufe	Einheitstensor
Q, R	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
λ	#Eigenwerte, im Abschnitt #Tensoren vierter Stufe erste Lamé-Konstante	Eigenwertproblem, Lamé-Konstante
δij	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
ϵijk	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
𝞊	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
i		Imaginäre Einheit: i2 ＝ −1
, O, 𝕆	Nullvektor, Nulltensor zweiter und vierter Stufe

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Zeichen für Operatoren

Weitere Informationen , ...

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
∠(·, ·)	#Skalarprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt von Vektoren	Winkel zwischen zwei Vektoren
(·) · (·)	#Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
(·) × (·)	#Kreuzprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
(·) : (·)	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
(·) ⊗ (·)	#Dyadisches Produkt, #Dyade	Dyadisches Produkt
(·) ·× (·)	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
(·) ×× (·)	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
(·) # (·)	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
∥(·)∥	#Betrag eines Tensors zweiter Stufe	Frobeniusnorm
|x|, ||, |A|	Betrag der Zahl x oder des Vektors , #Determinante des Tensors A	Betragsfunktion, Vektor#Länge/Betrag eines Vektors, Determinante
(·) ∥ (·)		Kollinearität
(·) ∦ (·)		Lineare Unabhängigkeit
(·) ⊥ (·)		Orthogonalität
sin, cos, tan		Winkelfunktionen
sgn(x)		Vorzeichen der reellen Zahl x
x, ${\displaystyle {\mathsf {\bar {\vec {v}}}}}$, A		Komplexe Konjugation

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Operatoren für komplexe Argumente werden nicht speziell definiert, komplexe Konjugationen immer angezeigt, z. B.

||² ＝ ${\displaystyle {\mathsf {{\vec {v}}\cdot {\bar {\vec {v}}}}}}$

bei komplexen Vektoren. Dies ist insbesondere bei der #Vektortransformation zu beachten. Komplexe Zahlen werden nur in den Abschnitten #Eigensystem und #Spektralzerlegung benutzt.

Tensorfunktionen

Weitere Informationen Formel­zeichen, Abschnitt in der Formel­sammlung ...

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
Sp, I1	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
I2	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
det, I3, |A|	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
[­]×	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
[A], [𝔸]	#Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe und nur in diesen Abschnitten	Voigtsche Notation
A×	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
(A)	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
adj(A)	#Adjunkte	Adjunkte
cof(A)	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev(A)	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
skw(A)	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
sph(A)	#Kugelanteil	Kugeltensor
sym(A)	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix

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Indizes

Weitere Informationen 𝔸 ...

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
Aij, Aij, Aij	#Tensorkomponenten von A, siehe auch #Basis und duale Basis
A⊤	#Transposition	Transponierte Matrix
𝔸${\displaystyle {}^{\stackrel {\mathsf {kn}}{\top }}}$	#Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
A−1	#Inverse	Inverse Matrix
A⊤−1, A−⊤	#Transposition der #Inversen
AS	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
AA	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
AD	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
AK	#Kugelanteil	Kugeltensor
A×	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
x−1		Kehrwert
(·)½, √(·)		Wurzel (Mathematik)

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Kronecker-Delta

Definition:

δij ＝		1 falls i ＝ j
		0 sonst

Für Summen gilt dann z. B.

v_i δ_ij ＝ v_j

A_ij δ_ij ＝ A_ii

Permutationssymbol

ϵijk ＝		1	falls (i, j, k) ∈ { (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) }
		−1	falls (i, j, k) ∈ { (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) }
		0	sonst, d. h. bei doppeltem Index

Verhalten bei vertauschten Indizes:

ϵ_ijk ＝ ϵ_jki ＝ ϵ_kij

ϵ_ijk ＝ −ϵ_ikj ＝ −ϵ_jik ＝ −ϵ_kji

Produkte und deren Summen:

ϵijk ϵlmn ＝	δil	δjl	δkl
	δim	δjm	δkm
	δin	δjn	δkn

ϵ_ijk ϵ_klm ＝ δ_il δ_jm − δ_im δ_jl

ϵ_ijk ϵ_jkl ＝ 2 δ_il

ϵ_ijk ϵ_ijk ＝ 6

#Kreuzprodukt von Vektoren:

ϵ_ijk ê_k ＝ ê_i × ê_j

ϵ_ijk ê_j × ê_k ＝ 2 ê_i

ϵ_ijk ê_i × (ê_j × ê_k) ＝

#Spatprodukt:

ϵ_ijk ＝ ê_i · (ê_j × ê_k)

Spaltenvektoren und Matrizen

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

＝ ai êi ＝	a1
	a2
	a3

Drei Vektoren , und können spaltenweise in einer 3×3-Matrix M arrangiert werden:

M ＝ Mij êi ⊗ êj ＝ (  ) ＝	a1 b1 c1
	a2 b2 c2
	a3 b3 c3

Die #Determinante der Matrix

|M| ＝ |  |

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
• größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet |  | > 0, dass die Vektoren , und eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine #Orthonormalbasis, wenn

M^⊤ M ＝ E

worin M^⊤ die transponierte Matrix und E die Einheitsmatrix ist. Bei einer rechtshändigen Orthonormalbasis ist

|M| ＝ +1.

Vektoralgebra

Operatoren

Tensorkomponenten

A ＝ Aij êi ⊗ êj ＝	A11	A12	A13	↔  Aij ＝ êi · A · êj
	A21	A22	A23
	A31	A32	A33

A ＝ A^ij _i ⊗ _j  ↔  A^ij ＝ ⁱ · A · ^j ＝ A : (ⁱ ⊗ ^j)

A ＝ A_ij ⁱ ⊗ ^j  ↔  A_ij ＝ _i · A · _j

A ＝ Aⁱ_{j i} ⊗ ^j  ↔  Aⁱ_j ＝ ⁱ · A · _j

A ＝ A_i^{j i} ⊗ _j  ↔  A_i^j ＝ _i · A · ^j

Wechsel der Basis

A ＝ A_ij ⁱ ⊗ ^j ＝ Ã_ij ⁱ ⊗ ^j

Mit den Formeln für #Tensorkomponenten:

Ã_ij ＝ _i · A · _j ＝ _i · (A_kl ^k ⊗ ^l) · _j ＝ (_i · ^k) A_kl (^l · _j)

Mit dem #Einheitstensor 1 = ⁱ ⊗ _i:

A ＝ 1 · A · 1⊤	＝	(i ⊗ i) · (Akl k ⊗ l) · (j ⊗ j)
	＝	(i · k) Akl (l · j) i ⊗ j
	＝	Ãij i ⊗ j

Allgemein:

A ＝ A_ij ⁱ ⊗ ^j ＝ Ã_ij ⁱ ⊗ ^j

↔ Ã_ij ＝ _i · A · _j ＝ _i · (A_kl ^k ⊗ ^l) · _j ＝ (_i · ^k) A_kl (^l · _j)

Oder mit 1 ＝ (_i · ^k) ⁱ ⊗ _k ＝ (_j · ^l) ^j ⊗ _l:

A ＝ 1 · A · 1⊤	＝	(i · k) (i ⊗ k) · Amn (m ⊗ n) · (j · l) (l ⊗ j)
	＝	(i · k) Akl (j · l) (i ⊗ j)
	＝	Ãij i ⊗ j

Bilinearform und Identität von Tensoren

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

Definition für einen Tensor A ∈ 𝓛:

⟨, ⟩ :＝ · A · ＝ A : ( ⊗ )

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

· A · ＝ · B ·  für alle , ∈ 𝕍

Kofaktor

Definition:

cof(A) ＝ A^⊤· A^⊤− I₁(A) A^⊤+ I₂(A) 1 ＝ adj(A)^⊤

#Hauptinvarianten:

I₁(cof(A)) ＝ I₂(A)

I₂(cof(A)) ＝ I₁(A) det(A)

det(cof(A)) ＝ det(A)²

#Betrags­quadrat:

∥cof(A)∥² ＝ I₂(A^⊤ · A) ＝ (∥A∥⁴ − ∥A^⊤ · A∥²)

#Vektorinvariante

(cof(A)) ＝ A · (A)

#Eigensystem:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₂ λ₃, λ₃ λ₁, λ₁ λ₂, und hat dieselben Eigenvektoren wie A^⊤.

Transponierter Tensor und Kofaktor kommutieren:

cof(A) · A^⊤= A^⊤· cof(A) ＝ det(A) 1

C ＝ cof(A · B) → C · B^⊤ · A^⊤ ＝ B^⊤ · A^⊤ · C ＝ A^⊤ · C · B^⊤ ＝ det(A · B) 1

Weitere Eigenschaften:

cof(x A) ＝ x² cof(A)

det(A) ≠ 0 → cof(A) ＝ det(A) A^⊤−1

cof(A · B) ＝ cof(A) · cof(B)

cof(A^⊤) ＝ cof(A)^⊤

cof(cof(A)) ＝ det(A) A

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (_1 2 3), dann gilt:

cof(A) ＝ (₂ × _3 3 × _1 1 × ₂)

cof(Aij êi ⊗ êj) ＝ ϵijk êk ⊗ (Ai2 Aj3 ê1 + Ai3 Aj1 ê2 + Ai1 Aj2 ê3) ＝ …
… ＝	A22 A33 − A32 A23	A23 A31 − A33 A21	A21 A32 − A31 A22
	A32 A13 − A12 A33	A33 A11 − A13 A31	A31 A12 − A11 A32
	A12 A23 − A22 A13	A13 A21 − A23 A11	A11 A22 − A21 A12

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

cof(A) ＝ A # A

cof(A + B) ＝ cof(A) + cof(B) + A # B

#Kreuzprodukt von Vektoren und Kofaktor:

(A · ) × (A · ) ＝ cof(A) · ( × )

Adjunkte

Definition:

adj(A) ＝ A · A − I₁(A) A + I₂(A) 1 ＝ cof(A)^⊤

#Hauptinvarianten:

I₁(adj(A)) ＝ I₂(A)

I₂(adj(A)) ＝ I₁(A) det(A)

det(adj(A)) ＝ det(A)²

#Betrags­quadrat:

∥adj(A)∥² ＝ I₂(A^⊤ · A) ＝ (∥A∥⁴ − ∥A^⊤ · A∥²)

#Eigensystem:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat adj(A) die Eigenwerte λ₂ λ₃, λ₃ λ₁, λ₁ λ₂, und hat dieselben Eigenvektoren wie A.

Tensor und Adjunkte kommutieren:

adj(A) · A ＝ A · adj(A) ＝ det(A) 1

C ＝ adj(A · B) → A · B · C ＝ B · C · A ＝ C · A · B ＝ det(A · B) 1

Weitere Eigenschaften:

adj(x A) ＝ x² adj(A)

det(A) ≠ 0 → adj(A) ＝ det(A) A⁻¹

adj(A · B) ＝ adj(B) · adj(A)

adj(A^⊤) ＝ adj(A)^⊤

adj(adj(A)) ＝ det(A) A

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (_1 2 3), dann ist:

adj(A) ＝ (₂ × _3 3 × _1 1 × ₂)^⊤

adj(Aij êi ⊗ êj) ＝ ϵijk (Ai2 Aj3 ê1 + Ai3 Aj1 ê2 + Ai1 Aj2 ê3) ⊗ êk ＝ …
… ＝	A22 A33 − A32 A23	A32 A13 − A12 A33	A12 A23 − A22 A13
	A23 A31 − A33 A21	A33 A11 − A13 A31	A13 A21 − A23 A11
	A21 A32 − A31 A22	A31 A12 − A11 A32	A11 A22 − A21 A12

Inverse

Definition für A ∈ 𝓛 , |A| ＝ det(A) ＝ I₃(A) ≠ 0:

A⁻¹: A · A⁻¹ ＝ 1

Tensor und Inverse kommutieren:

A⁻¹ · A ＝ A · A⁻¹ ＝ 1

A · B · C ＝ 1 → A · B · C ＝ B · C · A ＝ C · A · B ＝ 1

#Hauptinvarianten

I₁(A⁻¹) ＝ I₂(A)

I₂(A⁻¹) ＝ I₁(A)

I₃(A⁻¹) ＝

#Betrag:

${\displaystyle \|\mathbf {A} ^{-1}\|=\left|{\frac {\sqrt {{\mathsf {I}}_{2}(\mathbf {A^{\top }\cdot A} )}}{\det(\mathbf {A} )}}\right|=\left|{\frac {\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{4}-\|\mathbf {A^{\top }\cdot A} \|^{2}}}{{\sqrt {2}}\det(\mathbf {A} )}}\right|}$

#Vektorinvariante

(A⁻¹) ＝ − A · (A)

Weitere Eigenschaften:

(A⁻¹)⁻¹ ＝ A

(A^⊤)⁻¹ ＝ (A⁻¹)^⊤= A^⊤−1 ＝ A^−⊤

(x A)⁻¹ ＝ A⁻¹

(A · B)⁻¹ ＝ B⁻¹ · A⁻¹

(A · B)^⊤−1 ＝ A^⊤−1 · B^⊤−1

#Eigensystem: Die Inverse von A hat dieselben Eigenvektoren wie A aber die reziproken Eigenwerte.

Zusammenhang mit der #Adjunkten adj(A) und #Kofaktor cof(A):

A⁻¹ ＝ adj(A) ＝ cof(A)^⊤

(Aij êi ⊗ êj) −1 ＝ ϵijk (Ai2 Aj3 ê1 + Ai3 Aj1 ê2 + Ai1 Aj2 ê3) ⊗ êk ＝ …
… ＝	A22 A33 − A32 A23	A32 A13 − A12 A33	A12 A23 − A22 A13
	A23 A31 − A33 A21	A33 A11 − A13 A31	A13 A21 − A23 A11
	A21 A32 − A31 A22	A31 A12 − A11 A32	A11 A22 − A21 A12

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (_1 2 3), dann ist:

A⁻¹ ＝ (^1 2 3)^⊤ ＝ (₂ × _3 3 × _1 1 × ₂)^⊤

Satz von Cayley-Hamilton:

A⁻¹ ＝ [A² − I₁(A) A + I₂(A) 1]

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

(A + B)⁻¹ ＝ det(A + B)⁻¹ [adj(A) + adj(B) + (A # B)^⊤]

Invertierungsformeln für Tensoren zweiter Stufe

• (a 1 + ⊗ )−1 ＝	1	(g 1 − ⊗ ), mit g ＝ a + ·
	a g

• (a 1 + ⊗ + ⊗ )−1 ＝	1	[z 1 + ⊗ (f + x ) + ⊗ (y + g )]
	a z

mit f ＝ a + · , g ＝ a + · , x ＝ − · , y ＝ − · , z ＝ x y − f g

• (_i ⊗ _i)⁻¹ ＝ ⁱ ⊗ ⁱ

Abhängigkeiten der Mehrfachprodukte

Satz von Cayley-Hamilton:

A³ ＝ I₁(A) A² − I₂(A) A + I₃(A) 1

worin I_1,2,3 die drei #Hauptinvarianten sind.

Rivlins Theorem:

Eigenwertproblem

Gegeben:

A ∈ 𝓛

Eigenwertproblem:

A · ＝ λ ,  · A ＝ A^⊤ · ＝ λ , , ∈ 𝕍 \ {}

mit Eigenwert λ, Rechtseigenvektor und Linkseigenvektor .

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

det(A − λ 1) ＝ −λ³ + I₁(A) λ² − I₂(A) λ + I₃(A) ＝ 0

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten:

I₁(A) :＝ Sp(A) ＝ λ₁ + λ₂ + λ₃

I₂(A) :＝ [I₁(A)² − I₁(A²)] ＝ λ₁ λ₂ + λ₂ λ₃ + λ₃ λ₁

I₃(A) :＝ det(A) ＝ λ₁ λ₂ λ₃

Spezialfälle:

det( ⊗ − λ 1) ＝ λ² ( · − λ) ＝ −λ³ + ( · ) λ²

det( ⊗ + ⊗ − λ 1) ＝ …

＝ λ [( · ) ( · ) − ( · − λ) ( · − λ)]

＝ −λ3 + [­ · + · ] λ2 + [( · ) ( · ) − ( · ) ( · )] λ

Eigenvektoren

Rechts- und Linkseigenvektoren bzw. sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor. Die Rechts- und Linkseigenvektoren werden dual zueinander normiert: · ＝ 1.

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind bezüglich A und 1 orthogonal zueinander:

λ_i ≠ λ_j → _i · A · _j ＝ _j · A · _i ＝ _i · _j ＝ _j · _i ＝ 0

Bestimmungsgleichung: (A − λ 1) · ＝ , (A^⊤ − λ 1) · ＝

Tensor A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j:

	A11 − λ	A12	A13	·	u1	＝	0
	A21	A22 − λ	A23		u2		0
	A31	A32	A33 − λ		u2		0

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem u₁:

	A12	A13	·	u2 u3	＝ u1	λ − A11
	A22 − λ	A23				−A21
	A32	A33 − λ				−A31

Geometrische Vielfachheit 1:

u2 ＝ u1	(λ − A33) A21 + A23 A31
	(A22 − λ) (A33 − λ) − A23 A32

u3 ＝ u1	(λ − A22) A31 + A32 A21
	(A22 − λ) (A33 − λ) − A23 A32

Geometrische Vielfachheit 2 mit gegebenen/angenommenen u_1,2:

	A13	u3 ＝ −u1	A11 − λ	− u2	A12
	A23		A21		A22 − λ
	A33 − λ		A31		A32

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1, 2, 3} zyklisch vertauscht werden. Für die Linkseigenvektoren werden alle Indizes vertauscht: A_ik ↔ A_ki.

Symmetrische Tensoren

Für das Betragsquadrat der Komponenten ${\displaystyle u_{ij}}$ der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren ${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$ des (komplexen) Tensors A ∈ ℂ^n×n gilt mit dessen Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{i}}$ und den Eigenwerten ${\displaystyle \mu _{jk}}$ der Hauptuntermatrizen von A:^[1]

${\displaystyle |u_{ij}|^{2}\prod _{k=1;k\neq i}^{n}{\big (}\lambda _{i}-\lambda _{k}{\big )}=\prod _{k=1}^{n-1}{\big (}\lambda _{i}-\mu _{jk}{\big )}}$

Eigensystem symmetrischer Tensoren

Gegeben A ∈ 𝓛  mit  A ＝ A^⊤

#Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren. Die Rechts- und Linkseigenvektoren stimmen überein.

#Spektralzerlegung mit Eigenwerten λ_i und Eigenvektoren â_i des symmetrischen Tensors A:

A	＝ λi âi ⊗ âi ＝ (âj ⊗ êj) · λi êi ⊗ êi · (êk ⊗ âk)
	＝ (â1 â2 â3) · · (â1 â2 â3)⊤
1	＝ âj ⊗ âj ＝ (âj ⊗ êj) · (êk ⊗ âk) ＝ (â1 â2 â3) · (â1 â2 â3)⊤

bzw.

(â₁ â₂ â₃)^⊤ · A · (â₁ â₂ â₃) ＝

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

Gegeben A ∈ 𝓛  mit A^⊤ ＝ −A

#Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte ohne Realteil.

Spektralzerlegung:

A = i a (û₂ ⊗ û₃ − û₃ ⊗ û₂)

1 ＝ â ⊗ â + û₂ ⊗ û₃ + û₃ ⊗ û₂

mit:

#Dualer axialer Vektor:	A× ＝: a â, a :＝ │A×│
Eigenwerte:	λ1 ＝ 0, λ2,3 ＝ ±i a
Rechtseigenvektoren:	û1 ＝ â, û2,3 ＝ (ŵ ± i ŵ × â)
	ŵ ∈ 𝕍 \ beliebig, solange ŵ · A× ＝ 0
Linkseigenvektoren:	${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$1,2,3 ＝ û1,2,3

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

Gegeben a, b, c ∈ ℝ, eine Basis _1,2,3 von 𝕍 und die dazu duale Basis ^1,2,3, siehe #Basis und duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

Gegeben A ＝ a ₁ ⊗ ¹ + b ₂ ⊗ ² + c ₃ ⊗ ³ ∈ 𝓛

Eigenwerte:	λ1 ＝ a, λ2 ＝ b, λ3 ＝ c
Rechtseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2 ＝ 2, 3 ＝ 3
Linkseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2 ＝ 2, 3 ＝ 3

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Gegeben A ＝ c ₁ ⊗ ¹ + a (₂ ⊗ ² + ₃ ⊗ ³) + b (₂ ⊗ ³ − ₃ ⊗ ²) ∈ 𝓛

Eigenwerte:	λ1 ＝ c, λ2,3 ＝ a ± i b
Rechtseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2,3 ＝ (2 ± i 3)
Linkseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2,3 ＝ (2 ∓ i 3)

Verallgemeinertes Eigenwertproblem

Gegeben K, M ∈ 𝓛, M regulär.

Verallgemeinertes Eigenwertproblem:

(K − λ M) · ＝  und  · (K − λ M) ＝ , , ∈ 𝕍 \ {}

Alternativ : K · ＝ λ M ·  und K^⊤ · ＝ λ M^⊤ ·

Charakteristisches Polynom:

p(λ) ＝ |K − λ M|

Eigenwerte λ sind Lösungen von p(λ) ＝ 0.

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind bezüglich K und M orthogonal zueinander:

λ_i ≠ λ_j → _i · K · _j ＝ _i · M · _j ＝ _j · K · _i ＝ _j · M · _i ＝ 0

Weiteres siehe #Spektralzerlegung.

Eigenwerte des Tensors

Die #Eigenwerte λ₁, λ₂, λ₃ sind Invarianten.

Hauptinvarianten

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms, siehe #Eigenwerte.

Betrag

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

∥ ⊗ ∥ ＝ ││ ││

∥A∥² :＝ A : A ＝ Sp(A^⊤ · A) ＝ Sp(A · A^⊤)

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ A_ij A_ij

∥ A^ij _i ⊗ _j∥² ＝ A^ijA^kl (_i · _k) (_j · _l)

∥Aⁱ_{j i} ⊗ ^j∥² ＝ Aⁱ_j A^k_l (_i · _k) (^j · ^l)