Kato-Ungleichung

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Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ eine beschränkte, offene Menge und ${\displaystyle f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$, so dass ${\displaystyle \Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$. Dann gilt^[4][2]

${\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }$ in ${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}$,

wobei

${\displaystyle \operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{falls }}f\neq 0\\0&{\text{falls }}f=0.\end{cases}}}$^[5]

${\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}}$ ist der Raum der lokal integrierbaren Funktionen.

Erläuterungen

• Die Ungleichung wird manchmal auch in folgender Form

${\displaystyle \Delta f^{+}\geq \operatorname {Re} \left(1_{[f\geq 0]}\Delta f\right)\quad }$ in ${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}$

dargestellt, wobei ${\displaystyle f^{+}=\operatorname {max} (f,0)}$ und ${\displaystyle 1_{[f\geq 0]}}$ die Indikatorfunktion ist.

• Falls ${\displaystyle f}$ stetig in ${\displaystyle \Omega }$ ist, dann folgt

${\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }$ in ${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\{f\neq 0\})}$.^[6]

• Haı̈m Brezis und Augusto Ponce: Kato's inequality when ${\displaystyle \Delta u}$ is a measure. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I: Mathematics. Band 338, 2004, S. 599–604, doi:10.1016/j.crma.2003.12.032.
• W. Arendt und A.F.M. ter Elst: Kato’s Inequality. Hrsg.: Springer (= Analysis and Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications. Band 146). Cham 2019, doi:10.1007/978-3-030-12661-2_3.