Laplace-Operator

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen $\Delta$ , den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert. Im anschaulichen Fall der xy-Ebene bildet er, wenn möglich, die Summe der zweiten Ableitungen einer Funktion $f(x,y)$ in $x$ und $y$ -Richtung:

\Delta f={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} y^{2}}}

und analoges in höheren Dimensionen. Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Helmholtzgleichung, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

Definition

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld $f$ die Divergenz seines Gradienten zu,

\Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right),

oder mit dem Nabla-Operator notiert

\Delta f=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f.

Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise $\nabla ^{2}$ zu finden.

Da der Divergenz-Operator $\operatorname {div}$ und der Gradient-Operator $\operatorname {grad}$ unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation, siehe #Anwendung in verschiedenen Koordinatensystemen.

Im $n$ -dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten

\Delta f=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}.

In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:

\Delta f=f''

Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „⊗“ ist

\Delta {\vec {v}}:=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})=\operatorname {div{\big (}grad} ({\vec {v}}){\big )}

definiert.^[1]^[2]^[3] Darin ist

$\operatorname {grad} ({\vec {v}})=(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }$	der Rechtsgradient des Vektorfeldes,
$\operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot (\mathbf {T} ^{\top })$	die Divergenz des Tensorfeldes T und
(·)^⊤	der transponierte Tensor (·).

Speziell in drei Dimensionen existiert eine alternative Formulierung mit dem Rotationsoperator $\operatorname {rot}$

\Delta {\vec {v}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})=\operatorname {grad(div} ({\vec {v}}))-\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})),

was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.^[4.1]^[5]

Mit den klassischen Definitionen für die Anwendung des Operators auf Tensoren zweiter Stufe T und deren Rotation mittels konstanter Vektoren ${\vec {c}}$ ^[6]

\forall {\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}\colon \quad \Delta (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\Delta (\mathbf {T} \cdot {\vec {c}}),\quad \operatorname {rot} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\operatorname {rot} (\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}})

zeigt sich in ähnlicher Weise:

{\begin{aligned}\Delta \mathbf {T} =&\operatorname {grad{\big (}div} (\mathbf {T} ^{\top }){\big )}^{\top }-\operatorname {rot{\big (}rot} (\mathbf {T} ^{\top })^{\top }{\big )}\\=&\nabla \otimes (\nabla \cdot \mathbf {T} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {T} )\end{aligned}}

wo das formale Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor benutzt wird.

Anwendung in verschiedenen Koordinatensystemen

Orthogonale Koordinatensysteme haben für die angewandten Wissenschaften eine überragende Bedeutung, da viele konkrete Probleme in solchen Systemen formuliert und mit Trennung der Veränderlichen gelöst werden können.^[4.2] Nur der Abschnitt #Allgemein krummlinige Koordinatensysteme befasst sich mit der Anwendung des Laplace-Operators auf Skalarfelder in krummlinigen Koordinatensystemen.

Skalarfelder

Die Anwendung des Laplace-Operators wird hier in einigen üblichen orthogonalen Koordinatensystemen ausformuliert. Die gegebenen Formeln gelten dabei nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe den Abschnitt #Vektorfelder unten.

Kartesische Koordinaten

Für eine Funktion $f(x,y)$ in der xy-Ebene ergibt die Anwendung des Laplace-Operators wie in der Einleitung angegeben

\Delta f(x,y)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.

In kartesischen Koordinaten in drei Dimensionen addiert sich zu obigem noch die zweite Ableitung nach der dritten $z$ -Koordinate:

\Delta f(x,y,z)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

Polarkoordinaten in der Ebene

In Polarkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung und Azimut φ schreibt sich

\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}

oder

\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.

Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene addiert sich zu obigem noch die zweite Ableitung nach der Höhenkoordinate:

\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel θ und Azimut φ berechnet sich mit dem Sinus und Cosinus, sin bzw. cos:

\Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}{\Big (}rf{\Big )}=r\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}

Entsprechend gilt für den zweiten Term:

{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cos \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}

Allgemeine Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen orthogonalen Koordinaten u_1,2,3, zum Beispiel in obigen #Kugelkoordinaten oder in elliptischen Koordinaten, gilt für den Laplace-Operator die kanonische Form^[4.3]

\Delta f={\frac {1}{h}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial u_{i}}}\left({\frac {h}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial u_{i}}}\right)

wo $h_{i}:=\left|{\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|$ metrische Faktoren sind, die sich aus den Ableitungen des Ortsvektors ${\vec {r}}$ berechnen, und $h:=h_{1}h_{2}h_{3}$ ist das Produkt dieser metrischen Faktoren.

Entwickelt schreibt sich die kanonische Form:

{\begin{aligned}\Delta f=&\;\;\,{\frac {1}{h_{1}^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u_{1}^{2}}}+{\frac {\partial f}{\partial u_{1}}}\left({\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial h_{2}}{\partial u_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial h_{3}}{\partial u_{1}}}-{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial u_{1}}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{h_{2}^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u_{2}^{2}}}+{\frac {\partial f}{\partial u_{2}}}\left({\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial h_{3}}{\partial u_{2}}}+{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial u_{2}}}-{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial h_{2}}{\partial u_{2}}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u_{3}^{2}}}+{\frac {\partial f}{\partial u_{3}}}\left({\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial u_{3}}}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial h_{2}}{\partial u_{3}}}-{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial h_{3}}{\partial u_{3}}}\right)\right]\end{aligned}}

Allgemein krummlinige Koordinatensysteme

Die Anwendung des Laplace-Operators in beliebigen krummlinigen Koordinaten $u_{i}$ berechnet sich mit den kovarianten Ableitungen der Vektorkomponenten der kontravarianten Darstellung des Gradienten:

\operatorname {grad} f:=\sum _{i}f_{,i}{\vec {g}}^{i}=:\sum _{i}v^{i}{\vec {g}}_{i}

Damit schreibt sich:^[4.4]

\Delta f=\sum _{i}v^{i}|_{i}={\frac {1}{\sqrt {|G|}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial u_{i}}}\left({\sqrt {|G|}}\,v^{i}\right)

Es sind

$(\cdot )_{,i}$	Ableitungen nach den Koordinaten $u_{i}$ ,
$(\cdot )\|_{i}$	kovariante Ableitungen nach den Koordinaten $u_{i}$ ,
${\vec {g}}^{i}:=\operatorname {grad} (u_{i})$	kontravariante Basisvektoren und
${\vec {g}}_{i}:={\vec {r}}_{,i}$	kovariante Basisvektoren, die aus Ableitungen des Ortsvektors ${\vec {r}}$ entstehen, und
$\|G\|$	das Quadrat des mit den kovarianten Basisvektoren gebildeten Spatprodukts $\|G\|=\left({\vec {g}}_{1}\cdot ({\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3})\right)^{2}$ .

Die Metrikmatrix $G$ enthält die Skalarprodukte der Basisvektoren, $G_{ij}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}$ ,^[4.5] und deren Determinante entspricht dem Quadrat des Spatprodukts.

Obiger Operator kann in Form des Laplace-Beltrami-Operators auf riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen werden.

In Orthogonalkoordinaten ist der Betrag des Spatprodukts gleich dem Produkt der Metrikfaktoren und $v^{i}=f_{,i}/h_{i}^{2}$ , womit aus der letzten Formel die kanonische Form des Laplace-Operators in orthogonalen Koordinaten entsteht.

Vektorfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem mit $x$ -, $y$ - und $z$ -Koordinaten sowie Basisvektoren ${\hat {e}}_{x,y,z}$ gilt:

\Delta {\vec {v}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\vec {v}}=\Delta v_{x}{\hat {e}}_{x}+\Delta v_{y}{\hat {e}}_{y}+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}\Delta v_{x}\\\Delta v_{y}\\\Delta v_{z}\end{pmatrix}}

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene^[7]

\Delta {\vec {v}}=\left(\Delta v_{\rho }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\rho }-{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\varphi }+{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}

Die Laplace-Operatoren auf der rechten Seite stehen für den skalaren Laplace-Operator in #Zylinderkoordinaten.

In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel θ und Azimut φ berechnet sich mit dem Sinus und Cosinus, sin bzw. cos:

{\begin{aligned}\Delta {\vec {v}}=&\left(\Delta v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin \theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta v_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{\theta }\\&+\left(\Delta v_{\varphi }+{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi }+{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }\,,\end{aligned}}

wo die Laplace-Operatoren auf der rechten Seite wiederum den skalaren Laplace-Operator in #Kugelkoordinaten darstellen.

Rechenregeln

Produktregel

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet für Skalarfelder

\Delta (fg)=f\,\Delta g+2(\nabla f)\cdot (\nabla g)+g\,\Delta f,

wobei $f,g\colon U\to \mathbb {R}$ zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ sind und „·“ das euklidische Standardskalarprodukt ist.^[8]

Für entsprechend differenzierbare Vektor- und Tensorfelder gilt:^[4.6]

{\begin{aligned}\Delta (f\,{\vec {v}})=&(\Delta f)\,{\vec {v}}+f\,\Delta {\vec {v}}+2\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad} (f)\\\Delta (f\,\mathbf {T} )=&(\Delta f)\,\mathbf {T} +f\,\Delta \mathbf {T} +2\operatorname {grad} (\mathbf {T} )\cdot \operatorname {grad} (f)\end{aligned}}

wo der „Rechtstensorgradient“

\operatorname {grad} (\mathbf {T} )=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial u_{i}}}\otimes {\vec {g}}^{i}

und

\operatorname {grad} (\mathbf {T} )\cdot \operatorname {grad} (f)=\sum _{i=1}^{3}\left({\vec {g}}^{i}\cdot \operatorname {grad} (f)\right){\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial u_{i}}}

mit ${\vec {g}}^{i}=\operatorname {grad} u_{i}$ in krummlinigen Koordinaten u_1,2,3 auftaucht.

Mit den Produktregeln für Gradienten und Divergenzen, siehe Formelsammlung Tensoranalysis, lässt sich für zweimal differenzierbare Vektorfelder ${\vec {v}},{\vec {w}}$ und konstante Vektoren ${\vec {c}}$ nachweisen:

{\begin{aligned}\Delta ({\vec {v}}\cdot {\vec {w}})=&(\Delta {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot \Delta {\vec {w}}+2\,\mathrm {grad} ({\vec {v}}):\mathrm {grad} ({\vec {w}})\\\Delta ({\vec {v}}\cdot {\vec {c}})=&(\Delta {\vec {v}})\cdot {\vec {c}}\end{aligned}}

wo der Doppelpunkt gemäß A:B:=Sp(A^⊤·B) das Frobenius-Skalarprodukt von Tensoren zweiter Stufe A und B mittels der Spur Sp darstellt.

Nützliche Formeln

Mit dem Ortsvektor ${\vec {r}}$ , dessen Betrag $r$ und einer Funktion $f(r)$ gilt bei $r>0$ :^[4.7]

{\begin{aligned}\Delta r=&{\frac {2}{r}}\\\Delta (r^{-1})=&0\\\Delta f=&{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}{\big (}r\,f{\big )}=r{\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}\end{aligned}}

Formeln für den vektoriellen Laplace-Operator:

{\begin{aligned}\Delta {\vec {r}}=&{\vec {0}}\\\Delta {\big (}f\,{\vec {r}}{\big )}=&(\Delta f)\,{\vec {r}}+2\,\operatorname {grad} f\end{aligned}}

Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind $f$ und $g$ zweimal differenzierbare Funktionen und $a$ und $b$ Konstanten, so gilt

\Delta (a\cdot f+b\cdot g)=a\cdot (\Delta f)+b\cdot (\Delta g).

Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist $f$ eine zweimal differenzierbare Funktion und $R$ eine Drehung, so gilt

\left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right),

wobei „ $\circ$ “ für die Verkettung von Abbildungen steht.

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:

\Delta f=\mathrm {Spur} (H(f))

Divergenz- und rotationsfreie Vektorfelder sind harmonisch, was am vektoriellen Laplace-Operator ablesbar ist.

Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist $-\|\xi \|^{2}$ . Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator

-\Delta \colon {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})

auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss

-\Delta \colon H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})

zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum $H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ .^[9] Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:

\sigma (-\Delta )\subset \mathbb {R} _{0}^{+}

Die Eigenwertgleichung

-\Delta f=\lambda f

des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein beschränktes Gebiet und $H_{0}^{2}(\Omega )$ der Sobolev-Raum mit den Randwerten $f=0$ in $\partial \Omega$ , dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators $-\Delta \colon H_{0}^{2}(\Omega )\rightarrow L^{2}(\Omega )$ ein vollständiges Orthonormalsystem von $L^{2}(\Omega )$ und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in $\infty$ einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.^[10]

Anschaulich gibt $\Delta f(p)$ für eine Funktion $f$ an einem Punkt $p$ an, wie sich der Mittelwert von $f$ über konzentrische Kugelschalen um $p$ mit wachsendem Kugelradius gegenüber $f(p)$ verändert.

Poisson-, Helmholtz- und Laplace-Gleichung

Definition der Gleichungen

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen der Physik auf. Die homogene Differentialgleichung

\Delta \varphi =0

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung

\Delta \varphi =f

heißt Poisson-Gleichung. Im Spezialfall $f=\lambda \varphi$ entsteht die Helmholtz-Gleichung

\Delta \varphi =\lambda \varphi

Lösung mittels Trennung der Veränderlichen

Die Trennung der Veränderlichen gelingt in Laplace- und Helmholtz-Gleichungen immer in Koordinatensystemen, deren Koordinatenflächen konfokale Quadriken oder deren degenerierten Formen sind. Details dazu finden sich in den Hauptartikeln.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung $G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })$ des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung

\Delta \,G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=\delta ({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime })

mit der Delta-Distribution $\delta$ auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=-{\frac {1}{4\pi \|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime }\|}}+F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })

mit

\Delta \,F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=0

Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })={\frac {\ln(\|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime }\|)}{2\pi }}+F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })

mit

\Delta \,F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=0

Verallgemeinerungen

D’Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den D’Alembert-Operator:

\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta

Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators $\Delta$ auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

Verallgemeinerter Laplace-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinerte Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

Diskreter Laplace-Operator

Auf eine diskrete Eingangsfunktion g_n bzw. g_nm wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:

1D-Filter

\quad {\vec {D}}_{x}^{2}\;={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}

2D-Filter:

\quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}

Für zwei Dimensionen gibt es noch alternative Varianten, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigen, beispielsweise:

2D-Filter:

\quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Dabei entspricht der Laplace-Operator einer gewichteten Summe über den Wert an benachbarten Punkten. Die Kantendetektion in der Bildverarbeitung (siehe Laplace-Filter) ist ein mögliches Anwendungsgebiet diskreter Laplace-Operatoren. Dort taucht eine Kante als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auch bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen oder in der Graphentheorie werden diskrete Laplace-Operatoren genutzt, siehe beispielsweise die Näherungsweise rechnerische Lösung von Potentialströmungen.

Siehe auch

Anwendungen

Weblinks

Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. Auf: matheplanet.com.

Literatur

Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage, ISBN 3-8171-2004-4.
Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
Russell Merris: Laplacian matrices of graphs: a survey. In: Linear Algebra and its Applications. S. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795

Definition

Anwendung in verschiedenen Koordinatensystemen

Skalarfelder

Kartesische Koordinaten

Polarkoordinaten in der Ebene

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten

Allgemeine Orthogonalkoordinaten

Allgemein krummlinige Koordinatensysteme

Vektorfelder

Rechenregeln

Produktregel

Nützliche Formeln

Eigenschaften

Poisson-, Helmholtz- und Laplace-Gleichung

Definition der Gleichungen

Lösung mittels Trennung der Veränderlichen

Fundamentallösung

Verallgemeinerungen

D’Alembert-Operator

Verallgemeinerter Laplace-Operator

Diskreter Laplace-Operator

Siehe auch

Weblinks

Literatur

Einzelnachweise

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