Maximales Tensorprodukt

Es seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$ ist eine Halbnorm ${\displaystyle \alpha }$, so dass

• ${\displaystyle \alpha (st)\leq \alpha (s)\alpha (t)}$ für alle ${\displaystyle s,t\in A\odot B}$
• ${\displaystyle \alpha (s^{*}s)\,=\,\alpha (s)^{2}}$ für alle ${\displaystyle s\in A\odot B}$

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \alpha (a\otimes b)\leq \|a\|\|b\|}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$. Für ein Element ${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\in A\odot B}$ folgt daher ${\displaystyle \alpha (s)\leq \sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|}$ für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist ${\displaystyle \mu (s):=\sup _{\alpha }\alpha (s)}$, wobei ${\displaystyle \alpha }$ alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass ${\displaystyle \mu }$ eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf ${\displaystyle A\odot B}$. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von ${\displaystyle A\odot B}$ bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ und wird mit ${\displaystyle A\otimes _{\mu }B}$ bezeichnet^[2], andere Autoren schreiben dafür ${\displaystyle A\otimes _{\mathrm {max} }B}$ ^[3].

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft^[4]:

Es seien ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ C*-Algebren und ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow C}$ sowie ${\displaystyle \psi :B\rightarrow C}$ zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt ${\displaystyle \varphi (a)\psi (b)=\psi (b)\varphi (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus ${\displaystyle \pi :A\otimes _{\mathrm {max} }B\rightarrow C}$ mit ${\displaystyle \pi (a\otimes b)=\varphi (a)\psi (b)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$.

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ C*-Algebren, so heißt ein Paar ${\displaystyle (\varphi ,\psi )}$ ein vertauschendes Paar von Darstellungen von ${\displaystyle (A,B)}$, falls ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow L(H)}$ und ${\displaystyle \psi :B\rightarrow L(H)}$ Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum ${\displaystyle H}$ sind und ${\displaystyle \varphi (a)\psi (b)=\psi (b)\varphi (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$ gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen^[5]:

Für zwei C*-Algebren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle s=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\otimes b_{j}}$ aus dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$ gilt

${\displaystyle \mu (s)=\sup\{\|\sum _{j=1}^{n}\varphi (a_{j})\psi (b_{j})\|;\,(\varphi ,\psi ){\mbox{ vertauschendes Paar von Darstellungen von }}(A,B)\}.}$

• Räumliches Tensorprodukt
• Nukleare C*-Algebra