Nukleare C*-Algebra

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt ${\displaystyle A\odot B}$ auf mehrere Arten eine C*-Norm ${\displaystyle \alpha }$ definieren, das heißt eine Norm ${\displaystyle \alpha }$, so dass

• ${\displaystyle (A\odot B,\alpha )}$ ist eine normierte Algebra
• ${\displaystyle \alpha (s^{*}s)\,=\,\alpha (s)^{2}}$ für alle ${\displaystyle s\in A\odot B}$

gilt. Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra ${\displaystyle B}$ genau eine solche C*-Norm auf ${\displaystyle A\odot B}$ gibt.

Da es auf ${\displaystyle A\odot B}$ stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$, dass für jede C*-Algebra ${\displaystyle B}$ die minimale und maximale C*-Norm auf ${\displaystyle A\odot B}$ zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T^[1], die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

• Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen^[2].

• Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.

• Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endliche direkte Summen von Matrix-Algebren ${\displaystyle M_{n}}$ und es ist ${\displaystyle M_{n}\otimes B\cong M_{n}(B)}$ für jede C*-Algebra ${\displaystyle B}$ mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf ${\displaystyle M_{n}(B)}$.

• Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra ${\displaystyle C_{r}^{*}(G)}$ einer zusammenhängenden oder mittelbaren Gruppe ${\displaystyle G}$ ist nuklear. Für diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist ${\displaystyle C_{r}^{*}(G)}$ genau dann nuklear, wenn ${\displaystyle G}$ mittelbar ist.^[3]

• ${\displaystyle C^{*}(F_{2}),C_{r}^{*}(F_{2})}$ und ${\displaystyle L(\ell ^{2})}$ sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei ${\displaystyle F_{2}}$ die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und ${\displaystyle \ell ^{2}}$ der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

• Abgeschlossene zweiseitige Ideal und Quotienten nuklearer C*-Algebren sind wieder nuklear.

• Ist umgekehrt ${\displaystyle 0\rightarrow J\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle B}$, so ist auch ${\displaystyle A}$ nuklear.^[4]

• Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.^[5]

• Induktive Limiten von nuklearen C*-Algebren sind wieder nuklear, daher sind alle AF-C*-Algebren nuklear^[6].

• Ist ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ ein C*-dynamisches System mit einer nuklearen C*-Algebra ${\displaystyle A}$ und einer mittelbaren Gruppe ${\displaystyle G}$, so ist auch das verschränkte Produkt ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ nuklear^[7]. Insbesondere sind die irrationalen Rotationsalgebren nuklear.

• Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann nuklear, wenn die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$ punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz ${\displaystyle (P_{i})_{i\in I}}$ vollständig positiver Operatoren mit ${\displaystyle \mathrm {dim} P_{i}(A)<\infty }$ und ${\displaystyle \|P_{i}\|\leq 1}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ und ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\in I}\|P_{i}(a)-a\|=0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.^[8]

• Eine Von-Neumann-Algebra heißt hyperfinit, wenn sie eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler *-Algebren enthält, deren Vereinigung bezüglich der schwachen Operatortopologie dicht liegt. Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn ihre einhüllende Von-Neumann-Algebra hyperfinit ist. Siehe^[9][10] für weitere äquivalente Charakterisierungen.