Maßtheorie in topologischen Vektorräumen

Ein Gegenbeispiel

Sei ein separabler, reeller Hilbert-Raum ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ mit ${\displaystyle \dim(H)=n}$ gegeben. Weiter sei ${\displaystyle \lambda (dh)}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle H}$, das heißt

${\displaystyle \lambda (dh)=(2\pi )^{-{\frac {\dim(H)}{2}}}\exp \left(-{\frac {\|h\|_{H}^{2}}{2}}\right)dh}$

wobei ${\displaystyle dh}$ das Lebesgue-Maß auf ${\displaystyle H}$ bezeichnet.

Versucht man jedoch, diese Definition auf einen unendlichdimensionalen Hilbert-Raum ${\displaystyle n=\infty }$ zu übertragen, so scheitert dies. Sei ${\displaystyle h_{0},h_{1},\dots ,h_{m},\dots ..}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle H}$ und betrachte die zugehörigen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{m}:H\to \mathbb {R} }$ definiert durch ${\displaystyle X_{m}(h)=\langle h,h_{m}\rangle _{H}.}$ Die ${\displaystyle (X_{m})_{m\geq 0}}$ sind unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen und nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt

${\displaystyle \|h\|_{H}^{2}=\sum \limits _{m=0}^{\infty }X_{m}(h)^{2}=\infty }$

für ${\displaystyle \lambda }$-fast sicher alle ${\displaystyle h\in H}$ und somit ${\displaystyle \lambda (dh)=0}$.^[2]

Die Lösung besteht darin, das gaußsche maß über die Einbettung des Hilbertraums in einen Banachraum ${\displaystyle B}$ mit schwächerer Norm zu konstruieren, wodurch sich ein σ-additives Gaußmaß direkt auf der Borel-σ-Algebra von ${\displaystyle B}$ definieren lässt. Dies ist die Grundidee hinter den abstrakten Wiener-Räumen. Alternativ kann man ein Gaußmaß auf unendlichdimensionalen Räumen zunächst auf zylindrischen Mengen definieren und es anschließend unter geeigneten Bedingungen σ-additiv auf der Borel-σ-Algebra erweitern.

Abwesenheit des Lebesgue-Maßes

In unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen tritt ein fundamentales topologisches Problem auf. Ein topologischer Vektorraum ist genau dann hausdorff und lokalkompakt, wenn er endlichdimensional ist. Dies hat zur Konsequenz, dass auf einem solchen Raum ${\displaystyle X}$ im Allgemeinen kein analoges Lebesgue-Maß existiert. Man kann zeigen, dass wenn ${\displaystyle G}$ eine hausdorffsche topologische Gruppe ist und ein nicht-triviales links-invariantes Radon-Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle G}$ existiert, dann muss ${\displaystyle G}$ lokalkompakt sein.^[3] Da jeder topologische Vektorraum eine topologische Gruppe ist, existiert ein solches Maß nur auf endlichdimensionalen Räumen.

Es lassen sich allerdings analoge Maße konstruieren, wenn man die Eigenschaften des Lebesgue-Maßes (σ-Endlichkeit, σ-Additivität usw.) abschwächt oder Translationen auf kleinere Mengenräume beschränkt, beispielsweise auf Zylindermengen. Gaußsche Maße werden häufig als Ersatz verwendet, da sie auf vielen unendlichdimensionalen lokalkonvexen Räumen existieren und σ-additiv sowie positiv auf offenen Mengen sind, jedoch nur quasi-invariant unter Translationen. Sie existieren allerdings nicht auf allen Räumen, weshalb zylindrische Maße oft bevorzugt werden.

Zylindrische σ-Algebra

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Vektorräume über ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Man sagt ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ befinden sich in Dualität, wenn eine Bilinearform ${\displaystyle \langle .,.\rangle \colon X\times Y\to \mathbb {R} }$ existiert. Dadurch wird der Raum ${\displaystyle X}$ zum Raum der Funktionale auf ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Y}$ zum der Raum der Funktionale auf ${\displaystyle X}$. Sei nun ${\displaystyle Y\subset X^{*}}$.

Für ein ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in Y}$ nennt man eine Menge der Form

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{n}\rangle )\in B\}}$

eine Zylindermenge oder schlichtweg Zylinder. Falls ${\displaystyle B}$ offen ist, dann nennt man diese Menge offene Zylindermenge respektive offener Zylinder.

Die Menge aller Zylinder notieren wir mit ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ und die Menge aller offenen Zylinder mit ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O}}$ notiert. Beide bilden eine Algebra und sie erzeugen dieselbe σ-Algebra ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}})=\sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O})}$. Die Menge aller (offenen) zylindrischen Mengen

${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,Y)=\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }\bigcup \limits _{f_{1},\dots ,f_{n}\in Y,B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}}$

bilden eine Algebra und wird (offene) zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, welche sie erzeugt, nennt man zylindrische σ-Algebra und man notiert sie mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y):=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,Y))}$. Es spielt keine Rolle, ob man offene Zylinder oder allgemeine Zylinder wählt, die resultierende zylindrische σ-Algebra ist dieselbe.^[4]

Falls ${\displaystyle Y}$ ein Raum von stetigen Funktionalen ist, dann ist ein offener Zylinder ${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}}$ eine offene Menge, weil die Funktion ${\displaystyle f(C_{f_{1},\dots ,f_{n},B})=B}$ stetig ist. Folglich gilt dann ${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}\in {\mathcal {B}}(X)}$ und die Inklusion ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)\subset {\mathcal {B}}(X).}$

In den meisten Standardapplikationen wählt man ${\displaystyle Y=X'}$, dann ist die zylindrische σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ die kleinste σ-Algebra, sodass jedes stetige lineare Funktional auf ${\displaystyle X}$ messbar ist.

Bairesche σ-Algebra

Die bairsche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ ist die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen Funktionale ${\displaystyle f\in X'}$ stetig sind. Die Elemente der bairsche σ-Algebra nennt man Baire-Mengen und sind nicht zu verwechseln mit Mengen, welche die Baire-Eigenschaft haben.

Die bairsche σ-algebra wird auch von den Nullmengen erzeugt, es gilt

${\displaystyle \{x:f(x)\leq a\}=\{x:g(x):=\max(0,f(x)-a)=0\},}$

da ${\displaystyle f(x)}$ und ${\displaystyle \max(x)}$ stetig sind.

Ein paar Eigenschaften zur baireschen σ-Algebra:

• Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei topologische Räume mit bairschen σ-algebras ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(Y)}$. Wenn ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ stetig ist, dann ist die Funktion ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{0}(X),{\mathcal {B}}_{0}(Y))}$-messbar.^[5]
• Sei ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ eine Familie topologischer Räume mit dem Produktraum ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$, dann gilt ${\displaystyle \mathrm {B} _{0}(X)\supseteq \bigvee _{i\in I}\mathrm {B} _{0}(X_{i})}$. Wenn ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ zusätzlich separabel und metrisierbar sind, dann gilt ${\displaystyle \mathrm {B} _{0}(X)=\bigvee _{i\in I}\mathrm {B} _{0}(X_{i})}$.^[6]

Warum man nicht ausschließlich mit der borelschen σ-Algebra arbeitet

Wir haben gesehen, dass die zylindrische σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ durch offene Zylinder erzeugt wird. Die zylindrische σ-Algebra enthält alle abzählbaren Vereinigungen von offenen Zylinder, hingegen ist die borelsche σ-Algebra eine σ-Algebra ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {T}})}$ direkt auf der Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, und diese enthält alle beliebigen Vereinigungen von offenen Zylinder. Man muss sich bei der borelschen σ-Algebra somit auch mit überabzählbaren Vereinigungen rumschlagen.

Für nicht separable Räume gilt im Allgemeinen ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y),}$ deshalb kann es passieren, dass die Vektoraddition bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)}$ nicht messbar ist. Für zwei Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ heißt das also, dass die Summe ${\displaystyle S=X_{1}+X_{2}}$ keine Zufallsvariable mehr ist. Für die zylindrische σ-Algebra gibt es solche messbaren Probleme nicht, denn es gilt ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y')}$.

Im Allgemeinen möchte man eine σ-Algebra wählen, die einerseits genügend viele Mengen enthält, um praktisch arbeiten zu können, andererseits aber nicht so groß ist, dass zu viele Mengen messbar werden. Im Zusammenhang mit Integralen von stetigen Funktionen ist es schwierig oder sogar unmöglich, diese auf beliebige Borel-Mengen anzuwenden.^[7] In vielen topologischen Räumen stimmen die σ-Algebren allerdings überein.

Gleichheiten zwischen den σ-Algebren

• Sei ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum und ${\displaystyle \Gamma \subseteq X'}$ eine Familie von stetigen Funktionen, welche die Punkte trennt, dann gilt

${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)={\mathcal {E}}(X,\Gamma )}$^[8]

• Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Vektoraum und sei ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ die schwache Topologie, dann ist die zylindrische σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ exakt die bairesche σ-algebra von ${\displaystyle (X,T_{s})}$.^[10]
• Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein separabler metrisierbarer lokalkonvexer Raum und ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ die schwache Topologie. Dann sind die drei σ-algebren ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ equivalent unter den Topologien ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ und ${\displaystyle T_{s}}$.^[11]

Zylindrische Maße

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle X^{*}}$ der algebraische Dualraum. Weiter sei ${\displaystyle F}$ ein Vektorraum von linearen Funktionalen auf ${\displaystyle X}$, das heißt ${\displaystyle F\subseteq X^{*}}$, und ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$ die zylindrische Algebra.

Eine Mengenfunktion

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {Zyl}}(X,F)\to \mathbb {R} _{+}}

heißt zylindrisches Maß, falls für alle endlichen Mengen ${\displaystyle G:=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subseteq F}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und zylindrischen σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,G):=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,G))}$ die Restriktion

${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {E}}(X,G)\to \mathbb {R} _{+}}

eine σ-additive Funktion ist, das heißt ${\displaystyle \nu }$ ist ein Maß.^[13]

Sei ${\displaystyle \Gamma \subset X^{*}}$, ein zylindrisches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle X}$ hat die schwache Ordnung ${\displaystyle p}$ (oder ist vom schwachen Typ ${\displaystyle p}$), falls der ${\displaystyle p}$-te schwache Moment existiert, das heißt

${\displaystyle \int _{E}|\langle f,x\rangle |^{p}d\mu (f)<\infty }$ für alle ${\displaystyle f\in \Gamma .}$^[14]

Radon-Maße

Jedes Radon-Maß besitzt einen topologischen Träger. Jedes Radon-Maß induziert ein zylindrisches Maß, die Umkehrung ist im Allgemeinen aber nicht richtig.^[15] Die von Laurent Schwartz eingeführte Radonifikation ist eine Methode um zylindrische Maße in Radon-Maße zu verwandeln. Seien ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle G}$ zwei lokalkonvexe Räume, dann ist ${\displaystyle T:E\to G}$ ein ${\displaystyle (q,p)}$-radonisierender Operator, wenn für ein zylindrisches Maß ${\displaystyle \mu }$ vom Typ ${\displaystyle q}$ auf ${\displaystyle E}$ das Bildmaß ${\displaystyle T^{*}\mu }$ ein Radonmaß vom Typ ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle G}$ ist. Wenn ${\displaystyle p=q}$ dann spricht man einfach von ${\displaystyle p}$-radonisierenden Operatoren.^[16][17][18]

Erwartungswert und Kovarianzoperator

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein Maß mit schwacher Ordnung ${\displaystyle 1}$ auf dem topologischen Vektorraum ${\displaystyle X}$. Dann existiert der Erwartungswert ${\displaystyle m_{\mu }\in X}$ falls für jedes stetige Funktional ${\displaystyle f\in X'}$

${\displaystyle f(m_{\mu })=\int _{X}f(x)\mu (dx)}$

gilt.

Sei ${\displaystyle \mu }$ nun mit schwacher Ordnung ${\displaystyle 2}$, dann ist der Kovarianzoperator ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:X'\to (X')^{*}}$ von ${\displaystyle \mu }$ definiert durch

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{X}{\bigg (}\varphi (x)-\varphi (m_{\mu }){\bigg )}{\bigg (}\xi (x)-\xi (m_{\mu }){\bigg )}\mu (\mathrm {d} x)}$

für ${\displaystyle \varphi ,\xi \in X^{'}}$.^[19][20] Das heißt also ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )}$ ist ein Element des Bidualraums, das heißt ein Funktional auf ${\displaystyle X'}$, und es gilt

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }(g),f\rangle =\langle g,\operatorname {C} _{\mu }(f)\rangle =\operatorname {C} _{\mu }(f)(g).}$

Erweiterung der zylindrischen Maße

Um σ-additive zylindrische Maße zu erzeugen, gibt es verschiedene Ansätze. Für allgemeine Wahrscheinlichkeitsmaße gibt es den Erweiterungssatz von Kolmogorov und für gaußsche Maße das von Leonard Gross eingeführte Konzept des abstrakten Wienerraums. Für allgemeine Maße gibt es die Radonifikation und den Satz von Minlos-Sasonow. Letzterer sagt, dass ein zylindrisches Maß eine σ-additive Erweiterung hat, wenn die Fourier-Transformierte stetig in der Sasonow-Topologie oder Gross-Sasonow-Topologie ist.^[21] Solche Topologien nennt man ausreichend.^[22]