Millennium-Probleme

Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer betrifft elliptische Kurven, also algebraische Kurven, die sich in geeigneter Form durch kubische Gleichungen beschreiben lassen. Ihre rationalen Punkte bilden eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Eine wesentliche Kennzahl dieser Gruppe ist ihr Rang, der angibt, wie viele unabhängige Punkte unendlicher Ordnung zu ihrer Erzeugung benötigt werden.

Einer elliptischen Kurve lässt sich außerdem eine L-Funktion zuordnen. Die Vermutung besagt insbesondere, dass der Rang der Gruppe ihrer rationalen Punkte gleich der Ordnung der Nullstelle dieser L-Funktion bei ${\displaystyle s=1}$ ist. Sie stellt damit einen Zusammenhang zwischen den algebraisch definierten rationalen Lösungen einer Gleichung und analytischen Eigenschaften einer komplexen Funktion her. Die vollständige Vermutung enthält darüber hinaus eine genauere Aussage über den führenden Koeffizienten der L-Funktion bei ${\displaystyle s=1}$.

Vermutung von Hodge

Die Hodge-Vermutung betrifft die Frage, in welchem Umfang bestimmte topologische Eigenschaften komplexer algebraischer Varietäten durch algebraisch definierte Teilräume beschrieben werden können. Mithilfe der Hodge-Theorie lassen sich bestimmte Kohomologieklassen, die sogenannten Hodge-Klassen, einer glatten projektiven komplexen Varietät bestimmen.

Die Vermutung besagt, dass jede rationale Hodge-Klasse als rationale Linearkombination von Klassen algebraischer Zykel dargestellt werden kann. Sie verbindet damit algebraische Geometrie, Topologie und Analysis. Für verschiedene Spezialfälle ist die Vermutung bewiesen; in ihrer allgemeinen Form ist sie offen.

Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblem

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung viskoser Flüssigkeiten und Gase. Für zweidimensionale Strömungen ist das mathematische Verhalten wesentlich besser verstanden als im dreidimensionalen Fall. Dort ist insbesondere ungeklärt, ob aus geeigneten glatten Anfangsdaten stets für beliebig lange Zeiten glatte Lösungen entstehen oder ob sich in endlicher Zeit eine Singularität bilden kann.

Die offizielle Problemstellung des Clay Mathematics Institute enthält mehrere alternative Möglichkeiten, das Problem zu entscheiden. Einerseits kann unter den vorgegebenen Bedingungen die globale Existenz und Glattheit bewiesen werden. Andererseits kann das Problem durch den Nachweis geeigneter Daten entschieden werden, für die keine globale glatte Lösung mit den verlangten Eigenschaften existiert.

Im September 2026 veröffentlichte OpenAI eine Arbeit, die eine negative Lösung des Problems beansprucht. Nach Angaben des Unternehmens wird darin für geeignete glatte Daten eine Singularität in endlicher Zeit konstruiert. Das Clay Mathematics Institute führt das Navier-Stokes-Problem weiterhin als ungelöst. Der Lösungsvorschlag und sein Anerkennungsstatus werden im Abschnitt Lösungsstand näher behandelt.

P-NP-Problem

Das P-NP-Problem fragt nach dem Verhältnis zweier grundlegender Komplexitätsklassen. Zur Klasse ${\displaystyle \mathrm {P} }$ gehören Entscheidungsprobleme, die von einer deterministischen Rechenmaschine in Polynomialzeit gelöst werden können. Zur Klasse ${\displaystyle \mathrm {NP} }$ gehören Probleme, bei denen sich eine vorgegebene Lösung in Polynomialzeit überprüfen lässt.

Da eine in Polynomialzeit berechenbare Lösung auch in Polynomialzeit überprüft werden kann, gilt

${\displaystyle \mathrm {P} \subseteq \mathrm {NP} .}$

Unbekannt ist, ob auch die umgekehrte Inklusion gilt. Das Millennium-Problem besteht daher in der Entscheidung, ob

${\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {NP} }$

oder

${\displaystyle \mathrm {P} \neq \mathrm {NP} }$

gilt. Die Frage ist grundlegend für die theoretische Informatik und hat unter anderem Bezüge zur kombinatorischen Optimierung und Kryptographie.

Poincaré-Vermutung

Die von Henri Poincaré 1904 formulierte Vermutung betrifft die topologische Charakterisierung der dreidimensionalen Sphäre. Eine geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit heißt einfach zusammenhängend, wenn sich jede geschlossene Kurve in ihr stetig auf einen Punkt zusammenziehen lässt.

Die Poincaré-Vermutung besagt, dass jede geschlossene und einfach zusammenhängende dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist. Für zweidimensionale Flächen lässt sich die zugrunde liegende Eigenschaft anschaulich vergleichen: Auf einer Kugeloberfläche lässt sich jede geschlossene Schleife auf einen Punkt zusammenziehen, während dies auf einem Torus für bestimmte Schleifen nicht möglich ist.

Die Poincaré-Vermutung ist das bislang einzige vom Clay Mathematics Institute offiziell als gelöst anerkannte Millennium-Problem. Grigori Jakowlewitsch Perelman veröffentlichte 2002 und 2003 Arbeiten, aus denen ihr Beweis als Teil eines Beweises der weitergehenden Geometrisierungsvermutung von Thurston folgt. Das Clay Mathematics Institute erkannte die Lösung 2010 offiziell an.

Riemannsche Vermutung

Die Riemannsche Zetafunktion

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

steht in engem Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen. Die Reihe konvergiert zunächst für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$. Durch analytische Fortsetzung lässt sich die Funktion mit Ausnahme eines einfachen Pols bei ${\displaystyle s=1}$ auf die komplexe Ebene erweitern.

Neben den sogenannten trivialen Nullstellen bei negativen geraden ganzen Zahlen besitzt die Zetafunktion nichttriviale Nullstellen im kritischen Streifen

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1.}$

Die 1859 von Bernhard Riemann formulierte Vermutung besagt, dass sämtliche nichttrivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

liegen. Ihre Gültigkeit hätte weitreichende Folgen für Aussagen über die Verteilung der Primzahlen und zahlreiche davon abhängige Resultate der analytischen Zahlentheorie.

Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem

Yang-Mills-Theorien bilden eine mathematische Grundlage für einen wesentlichen Teil der modernen Elementarteilchenphysik. Klassische Yang-Mills-Theorien lassen sich mathematisch präzise formulieren; für ihre quantisierten vierdimensionalen Versionen fehlt jedoch eine entsprechend rigorose Konstruktion.

Das Millennium-Problem verlangt den Nachweis, dass für jede kompakte einfache Eichgruppe ${\displaystyle G}$ eine nichttriviale Quanten-Yang-Mills-Theorie auf dem vierdimensionalen euklidischen Raum existiert und eine positive Massenlücke ${\displaystyle \Delta >0}$ besitzt. Eine solche Massenlücke bedeutet vereinfacht, dass oberhalb des Vakuumzustands keine beliebig kleinen positiven Anregungsenergien auftreten. Das Problem verbindet damit mathematische Fragen der Quantenfeldtheorie mit Eigenschaften, die aus der physikalischen Theorie erwartet werden.

Zu Problem 3 (Navier-Stokes)

Bei den Navier-Stokes-Gleichungen werden mehrere Varianten formuliert, unter anderem die Frage nach der Existenz von glatten (${\displaystyle C^{\infty }}$) Lösungen ${\displaystyle u(x,t)}$ (Geschwindigkeit), ${\displaystyle p(x,t)}$ (Druck) der inkompressiblen kräftefreien Navier-Stokes-Gleichung in drei Dimensionen für alle positiven Zeiten, wobei die Energie beschränkt bleibt ${\displaystyle \textstyle \left(\int u^{2}{\text{d}}V<C\right)}$. Der Anfangswert ${\displaystyle u_{0}=u(x,0)}$ wird als glatt vorausgesetzt (${\displaystyle C^{\infty }}$), mit einer Wachstumsbeschränkung an die räumlichen Ableitungen. In einer anderen Variante werden periodische Randbedingungen vorgegeben (Lösungen auf dem dreidimensionalen Torus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$ statt in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). Es wird auch danach gefragt, ob es glatte Kraftfelder ${\displaystyle f}$ (mit Beschränkungen des Wachstums der Ableitungen von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle u_{0}}$) und Anfangsbedingungen gibt, für die keine solchen für alle positiven Zeiten glatten Lösungen für Druck ${\displaystyle p}$ und Geschwindigkeit ${\displaystyle u}$ existieren (wie oben mit endlicher Energie).

Zu Problem 7 (Yang-Mills)

In Bezug auf die Yang-Mills-Gleichungen wird nach einer strengen Begründung (im Sinn der Axiomatischen Quantenfeldtheorie) der quantisierten Yang-Mills-Theorie für beliebige kompakte einfache Eichgruppen ${\displaystyle G}$ in vier Dimensionen (euklidische Raum-Zeit) gefragt und der Existenz einer Massenlücke (das heißt, die vorhergesagten energetisch niedrigsten Anregungen haben endliche positive Masse). Das entspricht der Erwartung im Fall der Quantenchromodynamik (QCD), wo Glueballs endliche nichtverschwindende Masse haben, auch wenn die Eichbosonen (Gluonen) masselos sind. Das Problem wurde auch als Annäherung an das wichtigste ungelöste Problem von Yang-Mills-Theorien wie der QCD gewählt, das Confinement-Problem.

Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung wurde 2002 von Grigori Jakowlewitsch Perelman bewiesen. Für seine bahnbrechenden Arbeiten wurde ihm 2006 die Fields-Medaille verliehen, die er jedoch (als bislang einziger) ablehnte. Das Clay-Institut erkannte ihm 2010 das Preisgeld von einer Million Dollar zu, dies lehnte er jedoch ebenfalls ab.^[1]

Navier-Stokes

OpenAI gibt an, das Navier-Stokes-Problem gelöst zu haben.^[2] Die Regularien des Clay-Instituts fordern allerdings ein ausführliches Peer Review, ein Problem wird daher frühestens zwei Jahre nach Veröffentlichung des entsprechenden Papers als gelöst angesehen.^[3]

Nach der Veröffentlichung durch OpenAI kam es zu anhaltenden öffentlichen Diskussionen über die Urheberschaft der Arbeit.^[4] Der Mathematiker Tristan Buckmaster legte in einer Stellungnahme nahe, die durch OpenAI verwendeten Prompts könnten auf seiner – zu diesem Zeitpunkt noch nicht veröffentlichten – Zusammenarbeit mit Levent Alpöge beruhen.^[5] Auch sei nicht auszuschließen, dass die Künstliche Intelligenz auf seine bei dem Unternehmen hinterlegten Nutzerdaten zurückgegriffen hat. Die spanischen Mathematiker Diego Córdoba und Luis Martínez-Zoroa äußerten, wesentliche Berechnungen der eingesetzten Künstlichen Intelligenz seien ohne ihre Vorarbeit nicht möglich gewesen.^[6] Auch die European Mathematical Society wies hierauf hin.^[7] OpenAI hat inzwischen Quellennachweise ergänzt.