Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblem

Arbeit von Terence Tao

Am 3. Februar 2014 veröffentlichte Terence Tao eine Lösung für die lokal gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen und vermutete, seine Lösungsstrategie könnte für die gewöhnlichen Navier-Stokes-Gleichungen adaptiert werden.^[4] Terence Tao bewies, dass für ${\displaystyle \nu >0}$, durch Reskalierung ohne Beschränkung der Allgemeinheit normiert auf ${\displaystyle \nu =1}$, und ${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {0} }$ die Existenz einer glatten quellenfreien Geschwindigkeit ${\displaystyle \mathbf {v} }$ mit gegebener Anfangsbedingung ${\displaystyle \mathbf {v} (-,0)}$, welche die Navier-Stokes-Gleichung löst, äquivalent ist zur Existenz einer „milderen“ Lösung ${\displaystyle \mathbf {v} \colon [0,\infty )\rightarrow H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})}$. Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$ eine offene Teilmenge, dann ist ${\displaystyle H^{p}(\Omega ):=W^{p,2}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ der Sobolev-Raum der quadratintegrierbaren Funktionen, für die bis zu ${\displaystyle p}$ partielle Ableitungen ebenfalls quadratintegrierbar sind, welcher durch die Einschränkung des ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarproduktes:^[5]

${\displaystyle \langle -,-\rangle \colon H^{p}(\Omega )\times H^{p}(\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ,\langle u,v\rangle$ :=\int _{\Omega }u(\mathbf {x} )\cdot v(\mathbf {x} )\mathrm {d} \mathbf {x} }

ein Hilbert-Raum ist. „df“ steht für „divergence-free“, also den Unterraum der quellenfreien Vektorfelder. Es gibt eine kanonische Inklusion ${\displaystyle C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega )\subset W^{k,p}(\Omega )}$ der glatten Funktionen mit kompaktem Träger. Terence Tao schwächte die Suche nach Lösungen mit kompaktem Träger daher ab auf den Oberraum der Inklusion ${\displaystyle C_{\mathrm {c,df} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\subset H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})}$. Sei:^[5]

${\displaystyle B\colon H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})\times H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{3})\subset H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})^{*},(u,v)\mapsto -{\frac {1}{2}}L((u\cdot \nabla )v+(v\cdot \nabla )u)}$

die Eulersche Bilinearform mit ${\displaystyle \langle B(u,u),u\rangle =0}$ für alle ${\displaystyle u\in H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})}$.^[5] ${\displaystyle L}$ ist die Leray-Projektion auf quellenfreie Vektorfelder, in Koordinatendarstellung gegeben durch ${\displaystyle Lu_{i}=u_{i}-\Delta ^{-1}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}}$,^[5] wobei der invertierte Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ über die Fourier-Transformation definiert ist, also ${\displaystyle {\widehat {Lu_{i}}}(\xi )={\widehat {u_{i}}}(\xi )-\xi ^{-2}\xi _{i}\xi _{j}{\widehat {u}}_{j}}$. Mit dem normalisierten Druck ${\displaystyle p:=-\Delta ^{-1}\partial _{i}\partial _{j}(u_{i}u_{j})}$ ist ${\displaystyle B(u,u)=-(u\cdot \nabla )u-\nabla p}$ und der Druck lässt sich aus der Navier-Stokes-Gleichung entfernen:^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+B(u,u).}$

Terence Tao betrachtet nun diese Gleichung mit einer gemittelten Eulerschen Bilinearform ${\displaystyle {\widetilde {B}}\colon H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})\times H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})\rightarrow H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})^{*}}$ mit schwächeren Eigenschaften, welche zur Erfüllung von mehr Ungleichungen führt, aber weiterhin ${\displaystyle \langle {\widetilde {B}}(u,u),u\rangle =0}$ für alle ${\displaystyle u\in H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})}$ erfüllt.^[6] In diesem Fall gibt es tatsächlich eine Anfangsbedingung ${\displaystyle \mathbf {v} (-,0)}$, für welche keine „milde“ Lösung ${\displaystyle \mathbf {v} \colon [0,\infty )\rightarrow H_{\mathrm {df} }^{10}(\mathbb {R} ^{3})}$ existiert.^[7]

Dadurch ist gezeigt, dass eine erfolgreiche Methode zur Lösung des Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblems entweder auf einer feineren Struktur der Navier-Stokes-Gleichung als die obige Vereinfachung beruht oder essentiell auf einer Eigenschaft der Eulerschen Bilinearform ${\displaystyle B}$, die ihre gemittelte Variante ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$ nicht mehr hat.

Arbeiten von Tristan Buckmaster, Levent Alpöge und OpenAI

Am 8. September 2026 behauptete OpenAI, dass ein Team der Firma einen Beweis eines Gegenbeispiels des Navier-Stokes-Existenz- und Glattheitsproblems mit Hilfe einer internen künstliche Intelligenz erarbeitet zu haben. Gemäß dieser gibt es sowohl im periodischen als auch nichtperiodischen Fall tatsächlich Anfangsbedingungen, die eine Singularität in endlicher Zeit erzeugen, womit die Aussagen C und D wahr sind.^[8] Dabei beginnt das Fluid komplett ruhend unter einem glatten Kraftfeld mit kompaktem Träger und entwickelt in endlicher Zeit unendliche Geschwindigkeit trotz endlicher kinetischer Energie. Veröffentlicht wurden sowohl ein Paper als auch eine Formalisierung in Lean.^[9] Kurz zuvor hatten Tristan Buckmaster und Levent Alpöge weitere Fortschritte für die verwandte Euler-Gleichung erzielt. Tristan Buckmaster beschuldigte OpenAI der nicht angegebenen Verwendung ihrer Arbeit. Zudem habe OpenAI sich „genervt“ darüber geäußert, dass Alpöge bei Anthropic arbeite und ihn aufgefordert, diesen als Koautor von einer gemeinsamen Veröffentlichung auszuschließen, was er ablehnte.^[10] OpenAI wies die Beschuldigungen zurück und erklärte, andere Methoden verwendet zu haben.^[8][11]

Im Folgenden wird eine grobe Übersicht über das (bislang noch nicht überprüfte) Resultat von OpenAI gegeben. Es gibt die Lösung nicht explizit an, also durch einen direkten Ausdruck, sondern konstruiert sie implizit. Sie ähnelt einem verdrehten Kreisel, der sowohl immer dünner als auch immer kürzer wird und bei der Zeit ${\displaystyle t=1}$ eine Singularität in einer Umgebung um den Ursprung erzeugt, also:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 1^{-}}\|\mathbf {v} \|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})}=\lim _{t\rightarrow 1^{-}}\max\{\mathbf {v} (t,\mathbf {x} )|\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}\}=\infty .}$

Trotzdem gilt bei ${\displaystyle t=1}$ weiterhin die Bedingung ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}<\infty }$ aus der kinetischen Energie. Für die Beschreibung werden zunächst Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ verwendet. Sei ${\displaystyle \ell _{r}}$ der mittlere Radius des Kreisels in radialer Richtung und ${\displaystyle \ell _{z}}$ die mittlere Höhe, dann sind ${\displaystyle \ell _{r}\sim \tau ^{1/2}}$ und ${\displaystyle \ell _{z}\sim \tau ^{1/2-h}}$^[12] mit der Zeit ${\displaystyle \tau =1-t}$ zur Singularität und einem Parameter ${\displaystyle 0<h<1/100}$, wobei ${\displaystyle \sim }$ bedeutet, dass die Ausdrücke zueinander lediglich durch Konstanten abgeschätzt werden können. Nun wird der Kreisel schneller dünner als kürzer mit ${\displaystyle \ell _{r}/\ell _{z}\sim \tau ^{h}}$. Seien ${\displaystyle |u_{r}^{(0)}|}$, ${\displaystyle |u_{\theta }^{(0)}|}$ und ${\displaystyle |u_{z}^{(0)}|}$ die mittleren Geschwindigkeiten, dann sind ${\displaystyle |u_{\theta }^{(0)}|,|u_{z}^{(0)}|\sim \tau ^{-1/2-h}}$ und ${\displaystyle |u_{r}^{(0)}|\in {\mathcal {O}}(\tau ^{-1/2})}$^[12] mit der Landau-Notation. Für das mittlere Volumen ${\displaystyle V}$, das mittlere Geschwindigkeitsquadrat ${\displaystyle |u|^{2}}$ und die gesamte kinetische Energie ${\displaystyle T}$ gilt:^[12]

${\displaystyle V\sim \ell _{r}^{2}\ell _{z}\sim \tau ^{3/2-h};}$

${\displaystyle |u|^{2}=|u_{r}^{(0)}|^{2}+|u_{\theta }^{(0)}|^{2}+|u_{z}^{(0)}|^{2}\sim \tau ^{-1-2h};}$

${\displaystyle T\sim |u|^{2}V\sim \tau ^{1/2-3h}.}$

Für ${\displaystyle t\rightarrow 1^{-}}$ also ${\displaystyle \tau \rightarrow 0^{+}}$ divergieren daher die Geschwindigkeiten, obwohl die kinetische Energie ${\displaystyle T}$ nicht divergiert, sondern sogar ${\displaystyle T\rightarrow 0^{+}}$ gilt. Für die weitere Beschreibung werden die Zeit ${\displaystyle t}$ und die Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (r,z)}$ implizit auf neue Koordinaten ${\displaystyle \eta \in (-1,+1)}$ und ${\displaystyle X,q>0}$ transformiert sowie die Geschwindigkeiten ${\displaystyle (u_{r}^{(0)},u_{\theta }^{(0)},u_{z}^{(0)})}$ auf neue Funktionen ${\displaystyle (V_{0},E,U)}$ und der Druck ${\displaystyle p}$ auf eine neue Funktion ${\displaystyle \Pi }$ durch:^[13]

${\displaystyle A:={\frac {1}{2}}+h,D:={\frac {1}{2}}-h;}$

${\displaystyle \tau =q(1-\eta ^{2}),z=q^{D}\eta ,X={\frac {r^{2}}{2q}};}$

${\displaystyle ru_{r}^{(0)}=V_{0},ru_{\theta }^{(0)}=q^{-A}E,ru_{z}^{(0)}=q^{-A}U,p=q^{-2A}\Pi .}$

Diese Notationen werden fortan im ganzen Paper verwendet, insbesondere dem zentralen Theorem 4.6. Zwar ist die Übersetzung von zusätzlichen Bedingungen nicht direkt aufgrund der impliziten Definitionen, jedoch passen diese teils schon zusammen. Etwa wird die Inkompressibilität zu ${\displaystyle \nabla \cdot u^{(0)}=\partial _{r}(ru_{r}^{(0)})+\partial _{z}(ru_{z}^{(0)})=0}$, wodurch sich ${\displaystyle V_{0}}$ und ${\displaystyle q^{-A}U}$ direkt einsetzen lassen. Die Herleitungen werden nicht im Detail angegeben, sondern lediglich die Resultate für Inkompressibilität und Regularität auf der Achse sowie das radiale Druckgleichgewicht und das Verschwinden im Unendlichen:^[13]

${\displaystyle V_{0}(0,\eta )=0;}$

${\displaystyle \Pi (X,\eta )=\int _{X}^{\infty }{\frac {E(x,\eta )}{2x}}\mathrm {d} x.}$

Für den Beweis wird genau wie beim Resultat von Terence Tao die kinematische Viskosität durch Reskalierung des Raumes ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf ${\displaystyle \nu =1}$ gesetzt und die kraftfeldfreien Navier-Stokes-Gleichung als ${\displaystyle {\mathcal {R}}(u,p)=0}$ geschrieben mit dem Residualterm:^[14]

${\displaystyle {\mathcal {R}}(u,p):={\frac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u-\Delta u+\nabla p.}$

Zu zeigen ist nun, dass sich dieser Residualterm glatt durch die singuläre Zeit ${\displaystyle t=1}$ fortsetzen lässt, obwohl dort trotzdem die Geschwindigkeiten divergieren sollen, die in den ersten drei Termen vorkommen. Dabei wird die im Gebiet der partiellen Differentialgleichungen gängige Strategie verwendet, partielle Ableitungen des Residualterms (sowohl nach Raum als auch Zeit) durch Ungleichungen abzuschätzen.

Bei der Konstruktion ermöglicht das noch nicht festgelegte Kraftfeld ${\displaystyle \mathbf {f} }$ dadurch einen umgekehrten Ansatz: Statt umständlich eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichung mit divergierender Geschwindigkeit zu finden, können einfach glatte Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,1)}$ genommen werden und ${\displaystyle \mathbf {f} ={\mathcal {R}}(u,p)}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,1)}$ gesetzt werden,^[15] um diese automatisch zu einer Lösung zu machen. Dabei werden spezielle Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle p}$ konstruiert, die beide einen kompakten Träger in einer kompakten Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ haben. Für jeden Multiindex ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{3}}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ gilt dann, dass ${\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }\partial _{t}^{j}f}$ für ${\displaystyle t\rightarrow 1^{-}}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ gleichmäßig konvergiert und glatte Funktionen ${\displaystyle F_{j}\in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} )}$ mit kompakten Träger in ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ existieren mit:^[16]

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 1^{+}}\partial _{x}^{\alpha }\partial _{t}^{j}(t,x)=\partial _{x}^{\alpha }F_{j}(x);}$

${\displaystyle \partial _{x}^{\alpha }F_{j}(0)=0.}$

Damit lässt sich das Kraftfeld ${\displaystyle \mathbf {f} }$ glatt auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )}$ fortsetzen mit kompakten Träger in ${\displaystyle {\mathcal {K}}\times [0,2]}$.^[17]