Oktave (Hilfsmaßeinheit)

Die Oktave (Einheitenzeichen oct)^[1][2] ist eine Hilfsmaßeinheit, die in der Musik, Akustik und Hochfrequenztechnik verwendet wird. Sie fungiert als Hinweiswort,^[3] das bei dual- bzw. binärlogarithmischer^[4] Darstellung von Frequenzintervallen auf das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2:1 verweist.

Der Name stammt aus der Musik, wo dieses Frequenzintervall Oktave (lat. octo = acht) genannt wird, weil es den Abstand des achten Tons einer diatonischen Tonleiter von ihrem Grundton bezeichnet.

Zu einem Frequenzintervall ${\displaystyle G}$ von ${\displaystyle i}$ Oktaven gehört das Frequenzverhältnis

${\displaystyle {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=2^{i}}$ (mit ${\displaystyle f_{2}\geq f_{1}}$)

${\displaystyle \Leftrightarrow i=\log _{2}{\frac {f_{2}}{f_{1}}}=\operatorname {lb} {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=\operatorname {lb} {\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,{\text{oct}}=\operatorname {lb} {\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,{\text{Oktave(n)}}}$^[5]

Nach Umrechnung des Zweier- in einen Zehnerlogarithmus wird hieraus:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Leftrightarrow i&={\frac {1}{\lg \,2}}\cdot \lg \,{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,\,{\text{oct}}\\&\approx 3{,}3219\cdot \lg \,{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,\,{\text{oct}}\end{aligned}}}$

Beim Zehnerlogarithmus wird auch die Hilfsmaßeinheit Dekade verwendet gemäß^[1][2]

${\displaystyle G=\operatorname {lb} {\tfrac {f_{2}}{f_{1}}}{\text{ oct}}=\lg {\tfrac {f_{2}}{f_{1}}}{\text{ dec }}}$

Eine Untereinheit der Oktave ist das Cent:

${\displaystyle 1\,{\text{Cent}}={\frac {1}{1200}}\,{\text{Oktave}}}$