Pentagonikositetraeder

Das Pentagonikositetraeder ist ein chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum abgeschrägten Hexaeder und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.

Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b^[3]
Volumen^[4] ≈ 12,45a³ ≈ 35,63b³	$V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}$
Oberflächeninhalt^[4] ≈ 27,19a² ≈ 54,8b²	$A_{O}={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Kantenkugelradius^[4]	$r={\frac {a}{\sqrt {2\,(1+t)(1-2t)}}}=b\,{\sqrt {\frac {1+t}{2\,(1-2t)}}}$
Inkugelradius^[4]	$\rho ={\frac {a}{2{\sqrt {(1-2t)(1-t^{2})}}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}$
Flächenwinkel^[4] ≈ 136° 18′ 33″	$\cos \,\alpha ={\frac {t}{t-1}}$
Sphärizität ≈ 0,9556	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}$

Größen des Tangentenfünfecks^[3]
Flächeninhalt^[4]	$A={\frac {a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {b^{2}(2+3t)}{2\,(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Inkreisradius^[4]	$r={\frac {a}{2{\sqrt {1-t^{2}}}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$
Diagonale^[4] $\\|\,b$	$e=2a\,(1-2t^{2})=b\,(1+2t)$
Stumpfe Winkel^[4](4) ≈ 114° 48′ 43″	$\cos \,\alpha =-t$
Spitzer Winkel (1) ≈ 80° 45′ 6″	$\cos \,\beta =1-2t$

Entstehung