Sehnentabelle

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Die Kreissehne ist eine Linie mit Endpunkten auf dem Kreisradius. Ptolemäus verwendete einen Kreis mit einem Durchmesser von 120. Er tabellierte die Länge der Sehnen für Winkel von ½° bis 180° im äquidistanten Abstand von ½°.

In moderner Schreibweise beträgt die Länge der Sehne (Chord) für einen gegebenen Winkel θ

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ rad}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Während sich θ von 0 auf 180 ändert, variiert die Sehne zwischen 0 und 120. Für kleine Winkel verhält sich die Sehne zum Bogenwinkel in Grad wie π zu 3, oder genauer gesagt, das Verhältnis kann beliebig nah an π/3 ≈ 1,04719755 gebracht werden, indem θ klein genug gemacht wird. Somit ist für den Winkel von ½° die Sehnenlänge etwas größer als der Bogenwinkel in Grad. Mit zunehmendem Bogenwinkel nimmt das Verhältnis von Sehnenlänge zu Bogenwinkel ab. Bei einem Bogenwinkel von 60° entspricht die Sehnenlänge genau dem Bogenwinkel in Grad, d. h. Chord(60°) = 60. Bei Winkeln von mehr als 60° ist die Sehne kleiner als der Bogenwinkel, bis ein Winkel von 180° erreicht ist, bei dem die Sehnenlänge 120 beträgt.

Die Bruchteile der Sehnenlänge wurden im Sexagesimalsystem dargestellt. Wenn z. B. die Sehnenlänge für 112° als 99,29,5, genannt wird, hat sie eine Länge von

${\displaystyle 99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}\approx 99.485,}$

gerundet auf die nächste 1/60².^[1]

Nach den Spalten für den Winkel und die Sehne existiert eine dritte Spalte, die als „Sechzigstel“ bezeichnet ist. Der Wert entspricht

${\displaystyle {\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta \right)}{30}}.}$

Dies ist der interpolierte Wert von Sechzigstel einer Einheit, die bei Erhöhung des Winkels um eine Winkelminute zwischen dem Eintrag für θ° und dem für (θ + ½)° zur Sehne(θ°) addiert werden muss. Glowatzki und Göttsche zeigten, dass Ptolemäus die Sehnen auf fünf Sechzigstel genau berechnet haben muss, um die Genauigkeit in der Spalte „Sechzigstel“ zu erreichen.^[4][5]

${\displaystyle {\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{Winkel}}^{\circ }&{\text{Chord}}&&&{\text{Sechzigstel}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}}$

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Kapitel 10 des Buch 1 des Almagest beschreibt die geometrischen Grundlagen für die Sehnenberechnung. Ptolemäus benutzte geometrische Zusammenhänge basierend auf Satz 10 des Buch XIII der Elemente von Euklid, um die Sehnenlängen für 72° und 36° zu bestimmen. Der Satz besagt für ein in einen Kreis eingeschriebenes gleichseitiges Fünfeck, dass die Fläche des Quadrats an der Seite des Fünfecks der Summe der Flächen der Quadrate an den Seiten des Sechsecks und des Zehnecks entspricht, die in denselben Kreis eingeschrieben sind.

Er verwendete den Satz von Ptolemäus über in einen Kreis eingeschriebene Vierecke, um Formeln für die Sehne eines Halbkreises, die Sehne der Summe zweier Winkel und die Sehne der Differenz zweier Winkel abzuleiten. Der Satz besagt, dass bei einem in einen Kreis eingeschriebenen Viereck das Produkt der Längen der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der beiden Paare von Längen gegenüberliegender Seiten ist. Die Ableitungen der trigonometrischen Identitäten basieren auf einem zyklischen Viereck, bei dem eine Seite ein Durchmesser des Kreises ist.

Zur Bestimmung der Sehnen von 1° und ½° benutzte er Näherungen basierend auf Aristarchs Gesetz der Ungleichheit. Dieses besagt, dass für die Winkel α and β, falls 0 < β < α < 90°, gilt:

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

Ptolemäus zeigte, dass diese Annäherungen für die Winkel 1° und ½° die ersten beiden Sexagesimalstellen nach dem ganzzahligen Wert korrekt angeben.

Genauigkeit

Gerald J. Toomer gibt in seiner Übersetzung des Almagest sieben Stellen an, an denen einige Manuskripte Schreibfehler aufweisen, wodurch sich eine „Ziffer“ (ein Buchstabe, siehe unten) ändert. Glenn Elert hat die Werte von Ptolemäus mit den tatsächlichen Werten (das 120-fache des Sinus der Hälfte des Winkels) verglichen und festgestellt, dass der Fehler des quadratischen Mittelwerts 0,000136 beträgt. Ein Großteil davon ist auf die Rundung zu den nächsten 1/3600 zurückzuführen, da dies 0,0002777… entspricht. Dennoch gibt es viele Einträge, bei denen die letzte „Ziffer“ um 1 (zu hoch oder zu niedrig) vom besten gerundeten Wert abweicht. Die Werte von Ptolemäus sind oft um 1 zu hoch an der letzten Stelle, und zwar umso mehr, je größer der Winkel ist. Die größten Fehler betragen etwa 0,0004, was einem Fehler von nur 1 in der letzten Sexagesimalstelle entspricht.^[6]

Als Beispiel für die erreichte Genauigkeit dienen zwei Angaben aus dem Almagest:

${\displaystyle \operatorname {chord} (1^{\circ })=1^{p}2'50''={\frac {1}{60}}+{\frac {2}{60^{2}}}+{\frac {50}{60^{3}}}\approx 0{,}017454.}$

${\displaystyle \operatorname {chord} (22^{\circ })=22^{p}53'49''={\frac {22}{60}}+{\frac {53}{60^{2}}}+{\frac {49}{60^{3}}}\approx 0{,}381616.}$

Der Vergleich mit korrekten Sinuswerten ergibt:

${\displaystyle 2\cdot \sin(0{,}5^{\circ })=0{,}017453\ldots .}$

${\displaystyle 2\cdot \sin(11^{\circ })=0{,}38161799\ldots .}$

Berechnung der Kreiszahl

Da die Sehnentabelle die Kantenlänge eines regelmäßigen 360-Ecks^[7] angibt, lässt sich damit auch der Umfang des regelmäßigen Polygons angeben und ein Näherungswert für die Kreiszahl π ermitteln:^[8]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {360\cdot \operatorname {chord} (1^{\circ })}{120}}=3^{p}8'30''\approx 3{,}14167}$

Ptolemäus hat diesen Wert für seine Berechnungen verwendet. Er ist nur um 0,024 ‰ größer als die tatsächliche Kreiszahl.^[9]

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Die Winkel in Grad und die ganzzahligen Werte der Sehnenlängen wurden in einem Dezimalsystem ausgedrückt, das 21 Buchstaben des griechischen Alphabets mit den in der folgenden Tabelle angegebenen Bedeutungen sowie das gesonderte Symbol ∠′ verwendete, das ½ bedeutet, und einen erhöhten Kreis ○,^[10] der eine Lücke ausfüllt (und effektiv die Null darstellt). Drei der Buchstaben, die in der folgenden Tabelle als „archaisch“ gekennzeichnet sind, wurden bereits einige Jahrhunderte vor der Abfassung des Almagest nicht mehr in der griechischen Sprache verwendet, waren aber weiterhin als Zahlzeichen und Musiknoten in Gebrauch.

${\displaystyle {\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaisch)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaisch)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaisch)} &900\\\hline \end{array}}}$

So wird z. B. ein Winkel von 143½° in der griechischen Schreibweise als ρμγ∠′ (100 + 40 + 3 + ½) angegeben.

Die Bruchteile der Sehnenlängen erforderten große Genauigkeit und wurden als drei Spalten in Sexagesimalschreibweise angegeben: Die erste Spalte enthält den ganzzahligen Wert von Chord, die zweite Spalte ein ganzzahliges Vielfaches von 1/60 mit Werten von 0 bis 59, die dritte Spalte ein ganzzahliges Vielfaches von ${\textstyle {\tfrac {1}{60^{2}}}={\tfrac {1}{3600}}}$, ebenfalls im Wertebereich von 0 bis 59.

In Heibergs Ausgabe des Almagest sieht der Anfang der Sehnentabelle, der den Winkeln von ½° bis 7½° entspricht, wie folgt aus:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

Weiter unten in der Tabelle sieht man, dass die Ziffern, die die ganzzahligen Teile des Winkels und der Sehnenlänge ausdrücken, auf dem Dezimalsystem ähnlichen System basieren. So wird ein Winkel von 85° als πε (π für 80 und ε für 5) dargestellt. Die entsprechende Sehnenlänge beträgt 81 (πα) plus einem Bruchteil. Der Bruchteil ${\textstyle {\tfrac {4}{60}}+{\tfrac {15}{60^{2}}}}$ wird als δ für 4 in der ${\textstyle {\tfrac {1}{60}}}$-Spalte und als ιε für 15 in der ${\textstyle {\tfrac {1}{60^{2}}}}$-Spalte.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

Die Sehnentabelle des Almagest enthält 45 Zeilen auf jeder der acht Seiten (S. 48–63), insgesamt 360 Zeilen.

• Griechische Mathematik
• Sinus versus und Kosinus versus

• Johan Ludvig Heiberg: Almagest Syntaxis Mathematica. (wilbourhall.org PDF, Sehnentabelle S. 48–63).
• Glenn Elert: Ptolemy’s Table of Chords: Trigonometry in the Second Century (hypertextbook.com).
• Almageste (griechisch, französisch, archive.org).

• G. Wanner: Der Sinus an der Wiege der Naturwissenschaften. (PDF) Universität Tübingen, Februar 2021, abgerufen am 9. Februar 2026.