Shin’ichi Mochizuki

Konstruktion des Frobenioid

Das elementares Frobenioid lässt sich wie folgt herleiten:

• Man begint mit einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, welche die Basiskategorie ist. Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle \Phi$ :{\mathcal {D}}^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Mon} } in die Kategorie der Monoide nennt Mochizuki "Monoid auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$". Er ordnet also jedem Objekt ${\displaystyle A\in {\mathcal {D}}}$ ein Monoid ${\displaystyle \Phi (A)}$ zu. Erfüllen diese Monoide zusätzliche divisoriale Eigenschaften, so heißt ${\displaystyle \Phi }$ ein Divisormonoid und die Elemente in ${\displaystyle \Phi (A)}$ werden als abstrakte Divisoren aufgefasst werden.^[23]

• Aus einem Divisormonoid ${\displaystyle \Phi }$ konstruiert man eine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Phi }}$, die Mochizuki elementares Frobenioid nennt. Die Objekte von ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Phi }}$ sind die Objekte von ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, also ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {F}}_{\Phi })=\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$. Ein Morphismus in ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Phi }}$ ist ein Tripel ${\displaystyle \varphi =(\varphi _{D},Z_{\varphi },n_{\varphi }),}$ wobei
  • ${\displaystyle \varphi _{D}:A_{D}\rightarrow B_{D}}$ ein Morphismus in der Basiskategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$,
  • ${\displaystyle Z_{\varphi }\in \Phi (A_{D})}$ ein Element des zugehörigen Divisormonoids ist.
  • ${\displaystyle n_{\varphi }\in \mathbb {N} }$ eine natürliche Zahl ist, die als Frobeniusgrad von ${\displaystyle \varphi }$ bezeichnet wird ${\displaystyle \deg _{\mathrm {Fr} }(\varphi ):=n_{\varphi }}$. Der Frobeniusgrad stammt aus dem multiplikativen Monoid ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$^[23]

Zur einheitlichen Bezeichnung der drei Komponenten schreibt man dabei ${\displaystyle \operatorname {Base} (\varphi ):=\varphi _{D}}$, ${\displaystyle \operatorname {Div} (\varphi ):=Z_{\varphi }}$ und ${\displaystyle \deg _{\mathrm {Fr} }(\varphi ):=n_{\varphi }}$.

• Für zwei Objekte ${\displaystyle A,B\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$ lässt sich die Menge der Morphismen wie folgt schreiben

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {F}}_{\Phi }}(A,B)=\left\{(\operatorname {Base} (\varphi ),\operatorname {Div} (\varphi ),\deg _{\mathrm {Fr} }(\varphi ))\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(A,B)\times \Phi (A)\times \mathbb {N} \right\}}$

• Die Komposition zweier Morphismen ${\displaystyle \varphi =(\varphi _{D},Z_{\varphi },n_{\varphi })\in \operatorname {Hom} _{{\mathcal {F}}_{\Phi }}(A,B)}$ und ${\displaystyle \psi =(\psi _{D},Z_{\psi },n_{\psi })\in \operatorname {Hom} _{{\mathcal {F}}_{\Phi }}(B,C)}$ ist definiert durch

${\displaystyle \psi \circ \varphi$ :=\left(\operatorname {Base} (\psi )\circ \operatorname {Base} (\varphi ),\Phi (\operatorname {Base} (\varphi ))(\operatorname {Div} (\psi ))+\deg _{\mathrm {Fr} }(\psi )\operatorname {Div} (\varphi ),\deg _{\mathrm {Fr} }(\psi )\deg _{\mathrm {Fr} }(\varphi )\right)\colon A\to C.}

Das Frobenioid lässt sich wie folgt herleiten:

• Sei nun ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine weitere Kategorie. Ein Funktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {F}}_{\Phi }}$ zu einem elementaren Frobenioid nennt er Prä-Frobenioid-Struktur und eine Kategorie mit einem solchen Funktor ist ein Prä-Frobenioid. Die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ heißt Basiskategorie von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Für einen Morphismus ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist sein Bild unter ${\displaystyle F}$ ein Morphismus des elementaren Frobenioids ${\displaystyle F(\varphi )=(\operatorname {Base} (\varphi ),\operatorname {Div} (\varphi ),\deg _{\mathrm {Fr} }(\varphi )).}$ Dabei bezeichnen die drei Komponenten die Basisabbildung in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, den Divisor und den Frobeniusgrad des Morphismus.^[23]
• Ein Frobenioid ist ein Prä-Frobenioid, dessen Prä-Frobenioid-Struktur zusätzliche Axiome erfüllt. Ein Frobenioid ist somit eine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit einer Prä-Frobenioid-Struktur ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {F}}_{\Phi }}$. Die wichtigsten Axiome sind die Surjektivität auf die Basiskategorie durch Pull-back-Morphismen, die Realisierung aller Frobeniusgrade durch Morphismen vom Frobenius-Typ sowie die Erfassung der Divisorenstruktur durch co-angular Morphismen.^[24]

Beispiel von Mochizuki

Als einfachstes Beispiel eines elementaren Frobenioids nennt Mochizuki das elementare Frobenioid ${\displaystyle F_{M}}$, was aus einem kommutativen Monoid ${\displaystyle M}$ durch Bildung des semidirekten Produkts mit dem multiplikativen Monoid der natürlichen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$ entsteht

${\displaystyle F_{M}=M\rtimes \mathbb {N} .}$

Ein Element von ${\displaystyle F_{M}}$ ist ein Paar ${\displaystyle (a,n)}$ mit ${\displaystyle a\in M}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, wobei die Verknüpfung durch

${\displaystyle (a_{1},n_{1})\cdot (a_{2},n_{2})=(a_{1}+n_{1}a_{2},n_{1}n_{2}),\qquad a_{1},a_{2}\in M,\quad n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} }$

gegeben ist.

Das elementare Frobenioid ${\displaystyle F_{M}}$ wird von Mochizuki als Kategorie aufgefasst, genauer als die Kategorie mit einem einzigen Objekt ${\displaystyle \operatorname {Ob} (F_{M})=\{*\}}$, deren Morphismen durch die Elemente von ${\displaystyle F_{M}}$ gegeben sind. Das bedeutet, ein Morphismus ${\displaystyle \varphi }$ in der Kategorie ${\displaystyle F_{M}}$ wird durch ${\displaystyle (a,n)}$ beschrieben. In diesem Spezialfall lässt Mochizuki die Basiskomponente ${\displaystyle \operatorname {Base} (\varphi )}$ weg, weil er als zugrunde liegende Basiskategorie eine Kategorie mit einem Element ${\displaystyle \{*\}}$ wählt und der einzige Morphismus dort die die Identitätsabbildung ist ${\displaystyle \operatorname {id} _{*}}$ ist.^[25] Für einen Morphismus ${\displaystyle (a,n)}$ enthält das Monoid ${\displaystyle M}$ den Divisorenanteil des Morphismus, während die Elemente von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ den Grad des Morphismus angeben.

Beispielsweise wenn ${\displaystyle M:=\mathbb {Z} _{\geq 0}}$, dann wäre ${\displaystyle (2,3)\cdot (5,4)=(2+3\cdot 5,3\cdot 4)=(17,12)}$, der zusammengesetzte Morphismus besitzt Grad ${\displaystyle 12}$ und den Divisoranteil ${\displaystyle 17}$.

Allgemeiner kann ein elementares Frobenioid aus einer Familie kommutativer Monoide ${\displaystyle \Phi (A)}$ gebildet werden. Das Beispiel ${\displaystyle F_{M}}$ ist ein Spezialfall der allgemeinen Konstruktion, in dem man eine Basiskategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ mit einem einzigen Objekt ${\displaystyle *}$ betrachtet. Das diesem Objekt zugeordnete Divisormonoid ist durch ${\displaystyle \Phi (*)=M}$ gegeben. Das daraus konstruierte elementare Frobenioid ${\displaystyle F_{\Phi }}$ entspricht in diesem Fall genau dem oben beschriebenen elementare Frobenioid ${\displaystyle F_{M}=M\rtimes \mathbb {N} .}$

Ein einfaches Prä-Frobenioid erhält man dann, wenn man als Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}=F_{M}}$ wählt und der Funktor ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to F_{M}}$ einfach der Identitätsfunktor ist.

Weiteres Beispiel eines Frobenioids

Wir starten mit einem Funktionenkörper ${\displaystyle K/k}$, für den gilt die Isomorphie ${\displaystyle K\cong k(X)}$, dabei bezeichnet ${\displaystyle X}$ eine algebraische Kurve über dem Grundkörper ${\displaystyle k}$. Zunächst wählen wir als Basiskategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Kategorie der endlichen Überdeckungen von ${\displaystyle X}$. In diesem Beispiel beschränken wir uns auf zwei Überdeckungen:

${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})=\{g:X\to X,\;f:Y\to X\}.}$

Den beiden Überdeckungen ordnen wir die jeweiligen Divisormonoide der effektiven Weil-Divisoren zu

${\displaystyle \Phi (g)=\operatorname {Div} ^{\mathrm {eff} }(X),\quad }$ und ${\displaystyle \quad \Phi (f)=\operatorname {Div} ^{\mathrm {eff} }(Y)}$.

Daraus resultiert das elementare Frobenioid ${\displaystyle F_{\Phi }}$.

Die Elemente von ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{F_{\Phi }}(g,g)}$ haben die Form

${\displaystyle \varphi =(\varphi _{g},D,n)\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(g,g)\times \operatorname {Div} ^{\mathrm {eff} }(X)\times \mathbb {N} }$

und die Elemente von ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{F_{\Phi }}(f,f)}$ haben entsprechend die Form

${\displaystyle \psi =(\psi _{f},E,n)\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(f,f)\times \operatorname {Div} ^{\mathrm {eff} }(Y)\times \mathbb {N} .}$

Sei nun ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie, die mit einer Prä-Frobenioid-Struktur ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to F_{\Phi }}$ ausgestattet ist. Dann bildet der Funktor ${\displaystyle F}$ ein Objekt ${\displaystyle A\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$ auf die Überdeckungen ab

${\displaystyle F(A)\in \{g:X\to X,\;f:Y\to X\}}$.

Der Funktor bildet die Morphismus ${\displaystyle h:A\to B}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ auf einen Morphismus

${\displaystyle F(h):F(A)\to F(B)}$

ab. Dieser hat die Form ${\displaystyle F(h)=(h_{D},D_{h},n_{h}),}$ wobei ${\displaystyle h_{D}:F(A)\to F(B)}$ der zugehörige Morphismus in der Basiskategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle D_{h}}$ der Divisorenanteil und ${\displaystyle n_{h}}$ der Frobeniusgrad ist.

Damit wird die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit der Divisoren- und Gradstruktur des elementaren Frobenioids verbunden.

Zusammenfassung der Ausganglage

Die Ausganglage zur Konstruktion der Frobenioide und der darau sresultierenden Hodge-Theater lässt sich wie folgt zusammenfassen:

• Ausgangspunkt sind die ${\displaystyle \Theta }$-initialen Daten ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Theta }=(F,{\overline {F}},E_{F},X_{F},l,V,\dots )}$, also ein Zahlkörper ${\displaystyle F}$, die Primzahl ${\displaystyle l}$ und die Menge der Bewertungen ${\displaystyle V}$ sowie drei verwandte Kurven:
  • die elliptische Kurve ${\displaystyle E_{F}}$, die punktierte Kurve ${\displaystyle X_{F}}$ und die Orbikurve ${\displaystyle C_{F}}$.
• Aus den ${\displaystyle l}$-Torsionspunkten ${\displaystyle E_{F}[l]}$ wird eine Körpererweiterung ${\displaystyle K=F(E_{F}[l])}$ gebildet.
• Durch den Basiswechsel von ${\displaystyle F}$ nach ${\displaystyle K}$ erhält man die neuen Kurven ${\displaystyle E_{K}}$, ${\displaystyle X_{K}}$ und ${\displaystyle C_{K}}$.
• Daraus wird eine globale ${\displaystyle l}$-fache étale Überdeckung ${\displaystyle {\underline {C}}_{K}\to C_{K}}$ konstruiert, die durch Basiswechsel auf die punktierte elliptische Kurve eine Überdeckung ${\displaystyle {\underline {X}}_{K}\to X_{K}}$ liefert.
• Für jede Bewertung ${\displaystyle v\in V}$ werden diese Daten anschließend über die Vervollständigung ${\displaystyle K_{v}}$ lokalisiert. Dabei unterscheidet man zwischen guten und schlechten Stellen und erhält die lokalen Überdeckungen ${\displaystyle {\underline {X}}_{v}^{\mathrm {good} }}$ und ${\displaystyle {\underline {X}}_{v}^{\mathrm {bad} }}$.
• Aus den Kategorien der lokalen Überdeckungen werden Modelldaten gebildet, darunter vor allem:
  • die Kategorie der zusammenhängenden endlichen étalen Überdeckungen ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{v}^{\mathrm {bad} }:={\mathcal {B}}({\underline {X}}_{v}^{\mathrm {bad} })^{0}}$ von ${\displaystyle {\underline {X}}_{v}^{\mathrm {bad} }}$
  • die Kategorie der zusammenhängenden temperierten Überdeckungen ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{v}^{\mathrm {good} }:={\mathcal {B}}^{\mathrm {temp} }({\underline {X}}_{v}^{\mathrm {good} })^{0}}$ von ${\displaystyle {\underline {X}}_{v}^{\mathrm {good} }}$
• Aus den Model-Daten werden sogenannte Model-Frobenioide gebildet, die zentralen sind das temperierte Frobenioid ${\displaystyle F_{v}}$ und das ${\displaystyle p}$-adische Frobenioid ${\displaystyle F_{v}^{\mathrm {p} }}$, die für die Definition des ${\displaystyle \Theta }$-Hodge-Theaters wichtig sind.

Θ^±ell-Hodge-Theater

Ein ${\displaystyle \Theta ^{\pm \mathrm {ell} }}$-Hodge-Theater bezüglich eines Daten-Tupel ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Theta }}$ bezeichnet im Wesentlichen eine mathematische Struktur der Form

${\displaystyle (F_{\Theta }\xleftarrow {\,f\,} F_{T}\xrightarrow {\,g\,} D^{\times })}$

bestehend aus drei Objekten und zwei Morphismen. Genauer bedeutet dies

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}F_{\Theta }&\xleftarrow {\,f\,} &F_{T}&\xrightarrow {\,g\,} &D^{\times }\\{\text{arithmetische}}&&{\text{Vergleichsobjekt}}&&{\text{geometrische}}\\{\text{Daten}}&&&&{\text{Daten}}\end{array}}}$

wobei die Objekte im Einzelnen:

• ${\displaystyle F_{\Theta }=\{F_{\Theta ,v}\}_{v\in V}}$ repräsentiert die arithmetisch-multiplikative Seite und wird als „${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-Prime-Strip“ (oder „Frobenioid-Prime-Strip“) bezeichnet. Es ist eine Sammlung von Kategorien, die die arithmetischen Informationen des Zahlenkörpers ${\displaystyle F}$ an den Stellen ${\displaystyle v}$ enthält (insbesondere Frobenioid-Strukturen).^[27]
• ${\displaystyle F_{T}=\{F_{t}\}_{t\in T}}$ stellt das Vergleichsobjekt dar, welches die beiden Seiten mit sogenannten ${\displaystyle \Theta }$-Bridges verbindet. ${\displaystyle F_{T}}$ ist eine Familie von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-Prime-Strips und wird als „Kapsel von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-Prime-Strips“ bezeichnet.
• ${\displaystyle D^{\times }}$ repräsentiert die geometrische Seite und enthält Objekte mit Informationen über geometrische Strukturen (z. B. Kurven, Fundamentalgruppen, Überlagerungen). ${\displaystyle D^{\times }}$ ist eine geometrische Kategorie, die äquivalent zur Unterkategorie ${\displaystyle B(X_{K})^{0}\subset B(X_{K})}$ der zusammenhängenden Objekte der Galoiskategorie ist, wobei ${\displaystyle B(X_{K})}$ die Galoiskategorie der hyperbolischen Kurve ${\displaystyle X_{K}=X_{F}\times _{F}K}$ ist, welche von Mochizuki zuvor konstruiert wurde.

Mochizuki bezeichnet den Morphismus ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle \Theta ^{\pm }}$-Bridge und den Morphismus ${\displaystyle g}$ als ${\displaystyle \Theta ^{\mathrm {ell} }}$-Bridge, die relativ zu den Ausgangsdaten ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Theta }}$ gebildet werden. Die beiden Morphismen verbinden das in der Mitte liegende Vergleichsobjekt ${\displaystyle F_{T}}$ mit der arithmetischen bzw. geometrischen Seite. Somit werden beide Seiten über ein gemeinsames dazwischengeschaltetes Objekt beschrieben.^[28]