Trugschluss (Mathematik)

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Richtiges Ergebnis trotz falscher Rechnung

Eine eigene Klasse von Trugschlüssen (englisch howler ‚grober Schnitzer‘) entstehen durch eine korrekte Schlussfolgerung trotz fehlerhafter „Herleitung“. Manchmal gleichen sich zwei Fehler aus und erbringen das richtige Resultat. Solche fehlerhaften Argumente leiten nur in Spezialfällen zum richtigen Ergebnis, besitzen also keine Allgemeingültigkeit und sind mathematisch wertlos.

So kann jemand den Preis eines Einkaufs der in der Tabelle aufgeführten Waren

Weitere Informationen Menge, Ware ...

Menge	Ware	Einzelpreis	Mengeneinheit
¼ pf[Anm. 1]	Butter	2 s 10 d[Anm. 1]	pf
2½ pf	Schmalz	10 d	pf
3 pf	Zucker	3¼ d	pf
6 Schachteln	Streichhölzer	7 d	12 Schachteln
4 Pakete	Seifenflocken	2½ d	Paket

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1. [1]

   pf = Pfund, s = Schilling = 12 d (Denarii, Pfennige)

durch einfaches Zusammenzählen der Einzelpreise zum – trotzdem – richtigen Endpreis summieren:

4 s 8¾ d	= 8½ d + 2 s 1 d + 9¾ d + 3½ d + 10 d
	= 2 s 10 d + 10 d + 3¼ d + 7 d + 2½ d

Das „Kürzen“ von Ziffern und Zeichen in einem Bruch belässt den Quotient nur in Ausnahmefällen unverändert:^[3]

${\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {26\!\!\!/}{6\!\!\!/5}}={\frac {2}{5}}}$ oder gewagter ${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{a-b}}={\frac {a^{2\!\!\backslash }{-\!\!\!\!/}\;b^{2\!\!\backslash }}{a\!\!\!\backslash -\!\!\!\!\!/\;b\!\!\!\backslash }}=a+b}$

Das Herausziehen von Summanden aus einer Wurzel

${\displaystyle {\sqrt {5{\tfrac {5}{24}}}}=5{\sqrt {\tfrac {5}{24}}}\quad {\text{oder}}\quad {\sqrt {12{\tfrac {12}{143}}}}=12{\sqrt {\tfrac {12}{143}}}}$

ist normalerweise unzulässig, basiert hier aber auf der Kurzschreibweise von gemischten Brüchen (z. B. ${\displaystyle 5{\tfrac {5}{24}}=5+{\tfrac {5}{24}}}$) und der allgemeingültigen Regel

${\displaystyle {\sqrt {n+{\frac {n}{n^{2}-1}}}}=n{\sqrt {\frac {n}{n^{2}-1}}}}$.

Verknüpfung von Gleichem mit Gleichem

Die menschliche Ausdrucksweise ist oft mehrdeutig und ungenau. Dies kann dazu missbraucht werden, nur scheinbar Gleiches zu einem Trugschluss zu verknüpfen.

2 kg = 2000 g

3 kg = 3000 g

Gleiches mit gleichem multipliziert ergibt Gleiches, also:

6 kg = 3000 g · 2000 g = 6.000.000 g = 6000 kg.

Auflösung

Das Zusammenwerfen von Äpfeln und Birnen führt auch mathematisch zu falschen Schlüssen^[6]:

Keine Katze hat acht Schwänze.

Eine Katze hat einen Schwanz mehr als keine Katze.

Gleiches zu Gleichem addiert ergibt Gleiches, also:

Eine Katze hat neun Schwänze.

Auflösung

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Division durch 0

Aus der Identität ${\displaystyle 0\cdot a=0\cdot b}$ folgt nach Division durch den gemeinsamen Faktor 0 auf der rechten und linken Seite die Identität ${\displaystyle a=b}$, die nicht immer richtig sein muss, sodass damit Trugschlüsse konstruiert werden können.

Satz: ${\displaystyle 2=1}$

Beweis:

1. Es gelte	:  ${\displaystyle a=b}$
2. Multiplikation mit ${\displaystyle a}$	:  ${\displaystyle a^{2}=ab}$
3. Addieren von ${\displaystyle a^{2}-2ab}$	:  ${\displaystyle a^{2}+(a^{2}-2ab)=ab+(a^{2}-2ab)}$
4. Zusammenfassen	:  ${\displaystyle 2(a^{2}-ab)=a^{2}-ab}$
5. Eliminieren von ${\displaystyle a^{2}-ab}$	:  ${\displaystyle 2=1}$

q. e. d.

Auflösung

In die Kategorie „mathematischer Witz“ gehört der Scheinbeweis^[7] von ${\displaystyle 1+1=2}$.

Satz: ${\displaystyle 1+1=2}$

Beweis:

1. Ausgangspunkt	:  ${\displaystyle n(2n-2)=n(2n-2)}$
2. Zusammenfassen	:  ${\displaystyle (n-n)(2n-2)=0}$
3. Vereinfachen	:  ${\displaystyle 2n-2=0}$
4. Umstellen	:  ${\displaystyle 2n=2}$
5. Umformen	:  ${\displaystyle n+n=2}$

Mit ${\displaystyle n=1}$ folgt die Behauptung, q. e. d.

Auflösung

Die Gleichung ${\displaystyle 1+1=2}$ als Spezialfall der „allgemeingültigen“ Gleichung ${\displaystyle n+n=2}$ darzustellen, ist freilich absurd. Hier wird die Neigung von Mathematikern veralbert, einen Satz, um seine Anwendbarkeit zu erweitern, möglichst allgemein zu formulieren und den Anlass der Untersuchung dann als Spezialfall einzuschließen.

Gleichsetzen mehrdeutiger Ausdrücke

Eine Quadratzahl ungleich Null hat immer zwei verschiedene Wurzeln, eine positive und eine negative. Indem beide gleichgesetzt werden, können nach dem Schema ${\displaystyle (-a)^{2}=(+a)^{2}\rightarrow -a=a}$ erstaunliche Trugschlüsse „hergeleitet“ werden.

Satz: Alle Zahlen sind gleich

Beweisskizze: Wenn zwei beliebige Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gleich sind, dann sind alle Zahlen gleich.

1. Ausgangspunkt	:  ${\displaystyle a+b=t}$ mit beliebigem ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$
2. Multiplizieren mit ${\displaystyle (a-b)}$	:  ${\displaystyle (a-b)(a+b)=(a-b)t}$
3. Ausmultiplizieren	:  ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=at-bt}$
4. Umstellen	:  ${\displaystyle a^{2}-at=b^{2}-bt}$
5. Addieren von ${\displaystyle {\frac {t^{2}}{4}}}$	:  ${\displaystyle a^{2}-at+{\frac {t^{2}}{4}}=b^{2}-bt+{\frac {t^{2}}{4}}}$
6. Zweite binomische Formel	:  ${\displaystyle \left(a-{\frac {t}{2}}\right)^{2}=\left(b-{\frac {t}{2}}\right)^{2}}$
7. Vereinfachen	:  ${\displaystyle a-{\frac {t}{2}}=b-{\frac {t}{2}}}$
8. Addieren von ${\displaystyle {\frac {t}{2}}}$	:  ${\displaystyle a=b}$

q. e. d.

Auflösung

Im Reich der komplexen Zahlen hat jede Zahl zwei verschiedene Quadratwurzeln (außer null). Im Ausdruck ${\displaystyle {\rm {i={\sqrt {-1}}}}}$ steht der Ausdruck auf der rechten Seite also für zwei Werte ${\displaystyle +{\rm {i}}}$ und ${\displaystyle -{\rm {i}}}$ während links eine feste komplexe Zahl steht^[8]. Das kann Anlass zu Trugschlüssen sein.

1. Ausgangspunkt	:  ${\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}}$
2. Wurzelziehen	:  ${\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{1}}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}}$
3. Einsetzen von ${\displaystyle {\rm {i}}}$	:  ${\displaystyle {\rm {i={\frac {1}{i}}}}}$
4. Mit ${\displaystyle {\rm {i}}}$ multiplizieren	:  ${\displaystyle {\rm {i^{2}=1}}}$
5. ${\displaystyle {\rm {i^{2}=-1}}}$ einsetzen	:  ${\displaystyle -1=1}$

Auflösung

Auch die folgende Gleichungskette nutzt diese Tatsache aus:^[8]

${\displaystyle -1={\rm {i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1}}}$

Auflösung

Nicht korrekter wird es, wenn ${\displaystyle {\rm {i}}}$ im Exponenten auftritt.

1. Eulersche Relation mit ${\displaystyle \varphi =2\pi }$	:  ${\displaystyle e^{2\pi {\rm {i}}}=1}$
2. Zur ${\displaystyle {\rm {i}}}$-ten Potenz erheben	:  ${\displaystyle \left(e^{2\pi {\rm {i}}}\right)^{\rm {i}}=1^{\rm {i}}}$
3. Vereinfachen	:  ${\displaystyle e^{-2\pi }=0{,}001867\ldots =1}$

Auflösung

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Differentialrechnung

In der Differentialrechnung werden Differentiale ${\displaystyle {\rm {d}}x}$ benutzt, die in bestimmten Fällen null sind, beispielsweise wenn ${\displaystyle x}$ eine Konstante ist. Wie in der Algebra können daraus Trugschlüsse konstruiert werden.^[3]

Satz: Es gibt keinen Punkt auf einem Kreis, der am nächsten zu einem anderen Punkt ist, der nicht auf dem Kreis und nicht in seinem Mittelpunkt liegt.

Beweis über Differentialrechnung.

1. Gegeben sei ein Kreis mit Radius ${\displaystyle b}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$.
2. Sei ${\displaystyle P}$ der Punkt, zu dem der nächste Punkt auf dem Kreis gesucht wird.
3. In den Punkt ${\displaystyle P}$ wird der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems gelegt, dessen x-Achse durch den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ geht. Die x-Koordinate von ${\displaystyle M}$ sei ${\displaystyle a}$.
4. Für einen Punkt ${\displaystyle R=(x,y)}$ auf dem Kreis gilt nach dem Satz von Pythagoras: ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=b^{2}}$ oder ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0}$
5. Das Abstandsquadrat zwischen ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle R}$ ist nach Pythagoras ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$.
6. In 4.) eingesetzt wird daraus: ${\displaystyle r^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0}$.
7. Der Abstand ${\displaystyle PR}$ ist extremal, wenn die Ableitung ${\displaystyle r'(x)=0}$ ist.
8. Ableitung von 6.) nach ${\displaystyle x}$ resultiert in ${\displaystyle 2rr'-2a=0}$ oder ${\displaystyle r'={\frac {a}{r}}}$, weil ${\displaystyle P}$ nach Voraussetzung nicht auf dem Kreis liegt und daher ${\displaystyle r\neq 0}$ ist.
9. Die Bedingung ${\displaystyle r'=0}$ ist gemäß 8.) nur erfüllt, wenn ${\displaystyle a=0}$, das heißt ${\displaystyle P=M}$, gilt.
10. Für alle Punkte, die nicht auf dem Kreis aber außerhalb des Mittelpunkts des Kreises liegen, gibt es keinen nächsten Punkt auf dem Kreis.

q. e. d.

Auflösung

Integralrechnung

Die Integration einer Funktion mit der Substitutionsregel oder eines Produkts mit partieller Integration unterliegt strengen Regeln, die bei Missachtung leicht zu Trugschlüssen führen.

Satz: ${\displaystyle \pi =0}$

Beweisskizze: Wenn das bestimmte Integral des Produkts jeder beliebigen Funktion mit dem Cosinus über ein Intervall verschwindet, dann ist die Länge des Intervalls null. Wenn über das Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$ integriert wurde, heißt das, dass ${\displaystyle \pi =0}$ ist.

1. Ausgangspunkt

${\displaystyle I:=\int f(x)\cos(x){\rm {d}}x}$, ${\displaystyle f}$ beliebig.

2. Substitution ${\displaystyle t=\sin(x)}$, ${\displaystyle {\rm {d}}t=\cos(x){\rm {d}}x}$:

${\displaystyle I=\int f(\arcsin(t)){\rm {d}}t=\int g(t){\rm {d}}t}$ mit ${\displaystyle g(t):=f(\arcsin(t))}$

3. Einsetzen von 2.) in 1.):

${\displaystyle I=\int f(x)\cos(x){\rm {d}}x=\int g(t){\rm {d}}t}$

4. Auswertung von 3.) im Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$. An der unteren Grenze ist ${\displaystyle x=0\rightarrow t=\sin(x=0)=0}$ und an der oberen Grenze ist ${\displaystyle x=\pi \rightarrow t=\sin(x=\pi )=0}$. Also:

${\displaystyle \int _{x=0}^{x=\pi }f(x)\cos(x){\rm {d}}x=\int _{t=0}^{t=0}g(t){\rm {d}}t=0}$, ${\displaystyle f}$ beliebig.

q. e. d.

Auflösung

Siehe auch Partielle Integration#Kehrwertfunktion mit einem Beispiel, aus dem leicht ein weiterer Trugschluss aus der Integralrechnung gemacht werden kann.

Ableitungen aus divergenten Reihen

Mit divergenten Reihen kann (fast) alles „bewiesen“ werden. Ein berühmter, darauf basierender Scheinbeweis ist der folgende^[6].

Satz: Für die Summe ${\displaystyle C}$ der natürlichen Zahlen gilt: ${\displaystyle C=1+2+3+\dots =-{\frac {1}{12}}}$.

Beweis durch ausrechnen.

Ausgangspunkt ist die unendliche Reihe

${\displaystyle A=1-1+1-1+1-1+-\dots }$

Bei der schrittweisen Addition der Folgenglieder treten die Werte 0 und 1 für die Reihe wie beim Werfen einer perfekten Münze gleich oft auf und daher ist ½ der Erwartungswert der Reihe. Nun ist

${\displaystyle {\begin{aligned}A=&1-1+1-1+1-1+-\dots \\=&1+(1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)+\dots \\=&1+1-2-2+3+3-4-4++--\dots \\=&2\cdot (1-2+3-4+-\dots )\\=&2\cdot B\end{aligned}}}$

mit

${\displaystyle B:=1-2+3-4+-\dots }$

Diese Reihe ist proportional zur gesuchten Reihe ${\displaystyle C}$, denn

${\displaystyle {\begin{aligned}C-B=&1+2+3+4+5+6+\dots -(1-2+3-4+5-6+-\dots )\\=&(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+\dots \\=&0+4+0+8+0+12+\dots \\=&4\cdot (1+2+3+\dots )\\=&4\cdot C\end{aligned}}}$

Also ist ${\displaystyle 3\cdot C=-B}$ oder mit ${\displaystyle B={\frac {A}{2}}={\frac {1}{4}}}$:

${\displaystyle C=1+2+3+\dots =-{\frac {B}{3}}=-{\frac {1}{12}}}$

q. e. d.

Auflösung

Mit der Reihe A kann auch der folgende Trugschluss konstruiert werden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A&=1-1+1-1+\dots &&=1+(-1+1)+(-1+1)+\dots &&=1+0+0+\dots &&=1\\A&=1-1+1-1+\dots &&=(1-1)+(1-1)+\dots &&=0+0+\dots &&=0\end{alignedat}}}$

${\displaystyle \rightarrow 1=0}$

Auflösung

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Unzulässige Folgerungen

Trugschlüsse im Bereich der Aussagenlogik können sich aus dem Unterschied zwischen Subjunktion „→“ und Bijunktion „↔“ ergeben: „Wenn a, dann b“ bedeutet für zwei Aussagen a und b nicht immer auch „wenn b, dann a“, wie das folgende Beispiel zeigt.

Satz: ${\displaystyle 3=0}$

Algebraischer Beweis:

Ausgangspunkt ist die Gleichung

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$.

Weil hier offensichtlich ${\displaystyle x\neq 0}$ ist, ist das gleichbedeutend mit

${\displaystyle x\neq 0}$ und ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x=x\cdot (x^{2}+x+1)=x\cdot 0=0}$.

Addition von 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung liefert weiter:

${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x+1=x^{3}+0=x^{3}=1}$.

Also ist ${\displaystyle x=1}$, was in der ersten Gleichung ${\displaystyle 1^{2}+1+1=3=0}$ impliziert.

q. e. d.

Auflösung

Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Startwert, beispielsweise 1, sind. Am Induktionsanfang 1 trifft die Aussage oft offensichtlich zu. Dann wird im Induktionsschritt bewiesen, dass, wenn die Aussage für ${\displaystyle n}$ gilt (Induktionsvoraussetzung), sie auch für ${\displaystyle n+1}$ gilt. Damit gilt sie dann für ${\displaystyle n=1}$, daher auch für ${\displaystyle n=2}$, daher auch für ${\displaystyle n=3}$ usw. Bei inkorrekter Anwendung können Scheinbeweise wie der folgende auftreten.

Satz: Alle Deutschen haben dasselbe Alter.^[9]

Beweis über vollständige Induktion:

Die Behauptung, dass in einer Gruppe von ${\displaystyle n}$ Personen aus der Grundgesamtheit aller Deutschen alle dasselbe Alter haben, wird mit ${\displaystyle S(n)}$ bezeichnet.

Induktionsanfang

In einer „Gruppe“ aus nur einer Person, sind alle Personen in der Gruppe gleichaltrig. Die Aussage ${\displaystyle S(1)}$ trifft also jedenfalls zu.

Induktionsvoraussetzung

Sei die Behauptung ${\displaystyle S(n)}$ für ${\displaystyle n\geq 1}$ richtig. In einer Gruppe aus ${\displaystyle n}$ Deutschen haben alle dasselbe Alter.

Induktionsschritt

Hier ist zu beweisen, dass wenn ${\displaystyle S(n}$) wahr ist, dies auch Gültigkeit von ${\displaystyle S(n+1)}$ nach sich zieht. Dazu werden ${\displaystyle n+1}$ Deutsche in eine Reihe gestellt.

Zunächst wird die erste Person ${\displaystyle P}$ aus der Reihe entfernt.

Übrig bleiben ${\displaystyle n}$ Deutsche in der Reihe, die nach Voraussetzung gleichaltrig sind. ${\displaystyle P}$ wird wieder an erster Stelle der Reihe platziert und die letzte Person ${\displaystyle Q}$ aus der Reihe entfernt.

Übrig bleiben wieder ${\displaystyle n}$ Deutsche, die nach Voraussetzung alle dasselbe Alter haben. Also haben alle Personen in der Reihe dasselbe Alter und die Behauptung ${\displaystyle S(n+1)}$ trifft zu.

Induktionsschluss

Damit ist ${\displaystyle S(n)}$ für alle ${\displaystyle n}$ bewiesen und alle Deutschen haben dasselbe Alter.

Auflösung

Faule Definitionen

Die Trugschlüsse im Bereich fauler Definitionen basieren auf dem logischen Konzept

Auf die Elemente der leeren Menge treffen alle Eigenschaften zu.

Das ist an sich eine vernünftige Vereinbarung, denn alle Mengen sind Erweiterungen der leeren Menge. Ein nicht-existentes Objekt kann aber für Trugschlüsse missbraucht werden, denn es hat dafür geeignete Eigenschaften.

So zum Beispiel die größte natürliche Zahl.^[7]

Sei ${\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}$ die größte natürliche Zahl, also ${\displaystyle N\geq n}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. Insbesondere auch für ${\displaystyle n:=N+1}$ trifft das zu, weswegen ${\displaystyle N+1=n\leq N}$ folgt. Andererseits ist auch ${\displaystyle N\geq 1}$ und ${\displaystyle N-1\geq 0}$, weswegen ${\displaystyle N-1\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle N-1\leq N}$ oder ${\displaystyle N\leq N+1}$ gilt. Damit ist ${\displaystyle N\leq N+1\leq N}$ oder ${\displaystyle 0\leq 1\leq 0}$, was nur den Schluss ${\displaystyle 1=0}$ zulässt.

Auflösung

Ein weiteres Beispiel zeigt, dass eine Erweiterung eines Zahlenbereichs mit Bedacht vorzunehmen ist.

Sei ${\displaystyle j}$ die „imaginäre“ Zahl für die ${\displaystyle 0\cdot j=1}$ gilt.^[8]

Dann ist ${\displaystyle 1=0\cdot j=(0+0)\cdot j=0\cdot j+0\cdot j=1+1=2}$

oder ${\displaystyle 1=2}$.

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In der Geometrie können Trugschlüsse hinter ungenau gezeichneten Skizzen versteckt werden. Wird die Orientierung einer Strecke oder eines Winkels nicht berücksichtigt, führt das leicht zu Fehlschlüssen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Trugschluss von der Gleichschenkligkeit aller Dreiecke

Satz: Alle Dreiecke sind gleichschenklig.

Beweis nach Konstruktion:

1. Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ wie im Bild.
2. Sei ${\displaystyle m}$ die Winkelhalbierende des Innenwinkels in ${\displaystyle A}$.
3. Die Mittelsenkrechte der Seite ${\displaystyle BC}$ schneide diese im Punkt ${\displaystyle D}$ und die Winkelhalbierende ${\displaystyle m}$ im Punkt ${\displaystyle O}$.
4. Die Dreiecke ${\displaystyle BDO}$ und ${\displaystyle COD}$ sind nach dem zweiten Kongruenzsatz deckungsgleich, weil die Seitenlängen ${\displaystyle DO}$ und ${\displaystyle BD}$ bzw. ${\displaystyle CD}$ gleich sind und die Innenwinkel in ${\displaystyle D}$ übereinstimmen.
5. Deshalb gilt ${\displaystyle BO=CO}$.
6. Sei ${\displaystyle R}$ der Fußpunkt des Lotes von ${\displaystyle O}$ auf die Seite ${\displaystyle (AB)}$ und ${\displaystyle Q}$ der Fußpunkt des Lotes von ${\displaystyle O}$ auf die Seite ${\displaystyle (AC)}$.
7. Die Dreiecke ${\displaystyle ARO}$ und ${\displaystyle AOQ}$ sind nach dem SWW-Kongruenzsatz deckungsgleich, weil die Hypotenuse ${\displaystyle AO}$, ein anliegender Winkel in ${\displaystyle A}$ und der gegenüberliegende Winkel in ${\displaystyle R}$ bzw. ${\displaystyle Q}$ als rechte Winkel übereinstimmen.
8. Deshalb ist ${\displaystyle AR=AQ}$ und ${\displaystyle OR=OQ}$.
9. Die Dreiecke ${\displaystyle BOR}$ und ${\displaystyle CQO}$ sind nach dem vierten Kongruenzsatz deckungsgleich, weil sie nach 5.) und 8.) in zwei Seitenlängen gemäß ${\displaystyle BO=CO}$ sowie ${\displaystyle OR=OQ}$ und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt. Denn nach 6.) liegt der rechte Winkel in ${\displaystyle R}$ bzw. ${\displaystyle Q}$ der Hypotenuse der betrachteten Dreiecke ${\displaystyle BOR}$ und ${\displaystyle CQO}$ gegenüber.
10. Also ist auch ${\displaystyle BR=CQ}$.
11. Nach 8.) und 10.) ist also ${\displaystyle AB=AR+BR=AQ+CQ=AC}$.

q. e. d.

Auflösung

Trugschluss vom leeren Kreis

Satz: In einem Kreis liegt nur sein Mittelpunkt und sonst kein Punkt.

Beweis durch Falsifizierung der Umkehrung:

1. Gegeben sei ein Kreis um ${\displaystyle O}$ und Radius ${\displaystyle r}$ wie im Bild.
2. Angenommen, es gäbe einen Punkt ${\displaystyle P\neq O}$ im Abstand ${\displaystyle PO<r}$ vom Mittelpunkt.
3. Auf der Halbgeraden ${\displaystyle [OP}$ sei ${\displaystyle Q}$ der Punkt, für den gilt ${\displaystyle OP\cdot OQ=r^{2}}$
4. Die Mittelsenkrechte der Strecke ${\displaystyle [PQ]}$ schneide diese in ${\displaystyle R}$ und den Kreis in einem Punkt ${\displaystyle U}$.
5. Dann ist mit 3.) ${\displaystyle r^{2}=OP\cdot OQ=(OR-PR)\cdot (OR+PR)=OR^{2}-PR^{2}}$
6. Mit dem Satz von Pythagoras ist ${\displaystyle OR^{2}=r^{2}-RU^{2}}$ und ${\displaystyle PR^{2}=PU^{2}-RU^{2}}$
7. Nun 6.) in 5.) eingesetzt ergibt: ${\displaystyle r^{2}=(r^{2}-RU^{2})-(PU^{2}-RU^{2})=r^{2}-PU^{2}}$
8. Also ist ${\displaystyle PU=0}$.
9. Das aber ist im Widerspruch zur Annahme 2.), weswegen es außerhalb des Mittelpunkts des Kreises keinen Punkt geben kann, der im Kreis, also nicht auf dem Kreis, liegt.

q. e. d.

Auflösung

Trugschlüsse aus Zerlegungen

Bild zum Beweis von ${\displaystyle 64=65}$.	Bild zum Beweis von ${\displaystyle 216=217}$.

Satz: ${\displaystyle 64=65}$ und ${\displaystyle 216=217}$.

Beweis durch Zerlegungen:

1. Das Quadrat im linken Bild hat die Fläche ${\displaystyle 8\cdot 8=64}$ und wird in zwei Dreiecke und zwei Vierecke zerlegt. Aus diesen kann das Rechteck unter dem Quadrat zusammengesetzt werden, das den Flächeninhalt ${\displaystyle 5\cdot 13=65}$ hat.
2. Das obere Rechteck im rechten Bild hat die Fläche ${\displaystyle 9\cdot 24=216}$ und wird in zwei Dreiecke und zwei Vierecke zerlegt. Aus diesen kann das Rechteck darunter zusammengesetzt werden, das den Flächeninhalt ${\displaystyle 7\cdot 31=217}$ hat.

q. e. d.

Auflösung

Die linke Zerlegung wird auch als Schachbrett-Paradoxon bezeichnet und verwendet aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen ${\displaystyle f_{n-1},f_{n},f_{n+1}}$, denn bei ihnen gilt die Identität von Cassini ${\displaystyle f_{n+1}f_{n-1}=(f_{n})^{2}+(-1)^{n}}$. Für die Zerlegung der Rechtecke im rechten Bild eignen sich zwei aufeinander folgende Näherungswerte eines beliebigen Kettenbruchs.^[10]

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In der realen Welt sind alle Körper mehr oder weniger verformbar und Zwangsbedingungen immer mehr oder weniger flexibel, was Kräfte und/oder Beschleunigungen auf endliche Werte begrenzt. Die Berechnung flexibler Systeme kann durch vereinfachende Annahmen wesentlich erleichtert werden. Ein in diesem Sinn erfolgreiches Modell der klassischen Mechanik ist der unverformbare Starrkörper. Wird dieser weiteren Zwangsbedingungen unterworfen, können schnell unrealistische Unendlichkeiten auftreten. Die fallende Leiter ist ein Beispiel dafür.

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Arithmetik

Multiplikation von Gewichten

Wenn die Einheiten mitquadriert werden, kommt das richtige Ergebnis heraus:

(2 kg) · (3 kg)	= 6 kg²
	= (2000 g) · (3000 g) = 6 000 000 g² = 6 · (1000 g)² = 6 kg²

Lehrreich hieran ist, dass die Berücksichtigung der Einheiten in einer Rechnung ein Kriterium zu ihrer Überprüfung liefert. Am Ende der Rechnung müssen die Einheiten auf beiden Seiten einer Gleichung und in allen Summanden einer Summe übereinstimmen.

Katze mit 9 Schwänzen

Die Nicht-Katze Keine Katze darf nicht mit den Katzen in einen Topf geworfen werden. Wenn Keine Katze beispielsweise durch Flagellat ersetzt wird, erweist sich die zweite Aussage „Eine Katze hat einen Schwanz mehr als ein Flagellat“ als falsch, womit der Wahrheitsgehalt der Schlussfolgerung mathematisch unbestimmt ist.

Algebra

2 = 1

Im fünften Schritt wird wegen ${\displaystyle a=b}$ durch ${\displaystyle a^{2}-ab=a(a-b)=0}$ dividiert.

1 + 1 = 2

Im dritten Schritt wird durch ${\displaystyle n-n=0}$ dividiert.

Gleiche Zahlen

Im siebten Schritt werden die beiden verschiedenen Wurzeln eines Quadrats gleichgesetzt. Mit

${\displaystyle a-{\frac {t}{2}}=-\left(b-{\frac {t}{2}}\right)\leftrightarrow a+b=t}$

wäre der Trugschluss vermieden worden.

Imaginäre Einheit 1

Im dritten Schritt werden die positive und die negative Wurzel aus −1 gleichgesetzt. Wird das nicht getan, wird der Widerspruch vermieden:

${\displaystyle {\rm {i={\frac {1}{-i}}\quad \rightarrow \quad i^{2}={\frac {1}{-1}}=-1}}}$

Das Potenzgesetz ${\displaystyle \left({\frac {w}{z}}\right)^{r}={\frac {w^{r}}{z^{r}}}}$ ist im Komplexen nur eingeschränkt gültig.

Imaginäre Einheit 2

Beim mittleren Gleichheitszeichen ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}}$ wird auf der rechten Seite der übliche, positive Hauptwert der Wurzel im reellen benutzt. Hier führt aber nur der negative Wert zum richtigen Ergebnis

${\displaystyle -1={\rm {i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-{\sqrt {(-1)(-1)}}=-{\sqrt {1}}=-1}}}$.

Das Potenzgesetz ${\displaystyle (w\cdot z)^{r}=w^{r}\cdot z^{r}}$ ist im Komplexen nur eingeschränkt gültig.

Eulersche Relation

Im zweiten Schritt stehen links und rechts des Gleichheitszeichens mehrdeutige Funktionen deren Wertebereiche ${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} |z^{i}=\left(e^{2\pi {\rm {i}}}\right)^{\rm {i}}\right\}}$ und ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} |z^{\rm {i}}=1^{\rm {i}}\}}$ gleich sind. Im dritten Schritt werden zwei ungleiche Elemente – die Hauptwerte der Potenzen – aus diesen Wertebereichen herausgepickt und gleichgesetzt, was zum Trugschluss führt.

Das Potenzgesetz ${\displaystyle (z^{a})^{b}=z^{a\cdot b}}$ ist im Komplexen nur eingeschränkt gültig.

Analysis

Nächster Punkt zum Kreis

Die Punkte ${\displaystyle R=(x,y)}$ auf dem Kreis, die zum Ursprung des Koordinatensystems einen extremalen Abstand haben, liegen auf der x-Achse mit ${\displaystyle y=0}$ und ${\displaystyle (x-a)^{2}=b^{2}}$. Berechnung des Differentials von ${\displaystyle x}$ führt dort auf ${\displaystyle 2(x-a){\rm {d}}x=0}$. Für einen Punkt auf dem Kreis und der x-Achse ist also ${\displaystyle {\rm {d}}x=0}$ wegen ${\displaystyle |x-a|=b\neq 0}$. Das macht sich anschaulich dadurch bemerkbar, dass der Kreis die x-Achse senkrecht schneidet. Die für die Differentiation nach ${\displaystyle x}$ notwendige Umgebung in x-Richtung existiert auf dem Kreis in diesen Schnittpunkten auf der x-Achse nicht, ${\displaystyle r'(x)}$ kann im Extremum nicht berechnet werden, und alle aus ${\displaystyle r'=0}$ gefolgerten Aussagen sind hinfällig. Der entscheidende Fehler wird also im dritten Schritt gemacht.

Dieses Beispiel betont die Regel, dass die unabhängige Variable, hier ${\displaystyle x}$, in den Extrema der abhängigen Variable, hier ${\displaystyle r}$, keinen Nebenbedingungen unterworfen sein darf. Nicht besser wird es, wenn der Mittelpunkt nicht auf der x-Achse liegt. Die dann notwendige zweidimensionale Umgebung für die Differentiation nach den beiden unabhängigen Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ reduziert sich auf einen eindimensionalen Kreisbogen.

Lösen lässt sich das Problem durch eine Parametrisierung der Ebene mit Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (r,\varphi )}$, sodass ${\displaystyle (x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ mit ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ ist, erlaubt die Gewinnung der dem Ursprung nächsten Punkte, denn der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ unterliegt im Extremum keiner Nebenbedingung:

${\displaystyle r^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=r^{2}-2ar\cos \varphi +a^{2}-b^{2}=0}$

${\displaystyle \rightarrow 2rr'-2ar'\cos \varphi +2ar\sin \varphi =2(r-a\cos \varphi )r'+2ar\sin \varphi =0}$

Nun impliziert ${\displaystyle r'=0}$ die Identität ${\displaystyle ar\sin \varphi =0}$ und daher ${\displaystyle a=0}$ oder

${\displaystyle \sin \varphi =0}$,

solange der Kreis nicht durch ${\displaystyle P}$ geht und somit ${\displaystyle r\neq 0}$ ist. So sind die Punkte mit extremalem Abstand mit ${\displaystyle \varphi =0^{\circ }}$ oder ${\displaystyle \varphi =180^{\circ }}$ gefunden.

Verschwindende Kreiszahl

Das Problem ist hier, dass die Integration über ein Intervall erfolgt, in der die Funktion, mit der substituiert wird, keine Werte hat, denn der Bildbereich von Arcsin ist das Intervall ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$. Der entscheidende Fehler wird also im letzten Schritt gemacht.

Der Integrationsbereich muss aufgeteilt werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(x)\cos(x){\rm {d}}x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(x)\cos(x){\rm {d}}x+\int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }f(x)\cos(x){\rm {d}}x}$

Das zweite Integral muss erst auf den Wertebereich ‌${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ transformiert werden, was durch die Substitution ${\displaystyle y=\pi -x}$ erreicht wird:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }f(x)\cos(x){\rm {d}}x=&\int _{\frac {\pi }{2}}^{0}f(\pi -y)\cos(\pi -y)(-{\rm {d}}y)\\=&-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(\pi -y)\cos(y){\rm {d}}y\\=&-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f(\pi -x)\cos(x){\rm {d}}x\end{aligned}}}$

Zusammen mit dem ersten Integral auf der rechten Seite kann wie im Trugschluss beschrieben mit ${\displaystyle t=\sin(x)}$ substituiert werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }f(x)\cos(x){\rm {d}}x=&\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}[f(x)-f(\pi -x)]\cos(x){\rm {d}}x\\=&\int _{0}^{1}\left[f{\big (}\arcsin(t){\big )}-f{\big (}\pi -\arcsin(t){\big )}\right]{\rm {d}}t\end{aligned}}}$

Das kann null sein, muss aber nicht, sodass ${\displaystyle \pi \neq 0}$ nicht in Gefahr ist.

Summe der natürlichen Zahlen

In der Herleitung ist fast alles falsch. Um das zu zeigen, werden die ${\displaystyle n}$-ten Partialsummen, angezeigt durch den Index ${\displaystyle n}$, zunächst mit einem geraden ${\displaystyle n}$ betrachtet. Dann ist

${\displaystyle A_{n}=(1-1)+\dots +(1-1)=0+\dots +0=0}$

und

${\displaystyle B_{n}=\underbrace {(1-2)+(3-4)+\dots +(n-1-n)} _{{\frac {n}{2}}\cdot (-1)}=-{\frac {n}{2}}}$

In der Summe

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}+B_{n}=&\underbrace {1+(1-2)+(-2+3)+\dots +(n-1-n)} _{A_{n}}-n\\=&A_{n}-n\end{aligned}}}$

entsteht noch ein „Rest“ ${\displaystyle n}$, was sich auch aus den Ausdrücken für ${\displaystyle A_{n}}$ und ${\displaystyle B_{n}}$ ergibt. Die Formel ${\displaystyle B_{n}={\frac {A_{n}}{2}}}$ ist also in erster Ordnung von ${\displaystyle n}$ falsch. Das reicht jedoch noch nicht, das in zweiter Ordnung falsche Endergebnis zu erklären.

Die Differenz ${\displaystyle C_{n}-B_{n}}$ der Partialsummen ergibt:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}-B_{n}=&1+2+\dots +n-(1-2+\dots -n)\\=&4\cdot \left(1+2+\dots +{\frac {n}{2}}\right)=4C_{n/2}\end{aligned}}}$

Nach der Summenformel für ${\displaystyle C_{n}}$ nähert sich das Verhältnis

${\displaystyle {\frac {C_{n}}{C_{n/2}}}={\frac {{\frac {n}{2}}(n+1)}{{\frac {n}{4}}({\frac {n}{2}}+1)}}=4{\frac {n+1}{n+2}}}$

mit wachsendem ${\displaystyle n}$ der vier und weil ${\displaystyle C_{n}}$ mit dem Quadrat von ${\displaystyle n}$ zunimmt ist die Formel ${\displaystyle C_{n}=-{\frac {B_{n}}{3}}}$ in zweiter Ordnung falsch. Erst nach diesem Fehler wächst ${\displaystyle C}$ nicht mehr quadratisch mit ${\displaystyle n}$ an. Ausdrücken von ${\displaystyle C_{n/2}}$ durch ${\displaystyle C_{n}}$ bestätigt

${\displaystyle C_{n}-B_{n}=4C_{n/2}={\frac {n+2}{n+1}}C_{n}\quad \rightarrow \quad C_{n}=-(n+1)B_{n}={\frac {n}{2}}(n+1)}$

Bei ungeradem n ist

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}=&1\\B_{n}=&{\frac {n+1}{2}}\\C_{n}-B_{n}=&4C_{(n-1)/2}\end{aligned}}}$

mit ähnlich vernichtendem Resultat.

Reihe A

Der unbestimmt divergenten Reihe ${\displaystyle A_{n}}$ kann für ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ kein Wert zugewiesen werden. Der Vergleich zweier unbestimmter Werte ist mathematisch jedoch sinnlos.

Logik

Subjunktion und Bijunktion

Im Bereich der reellen Zahlen ist ${\displaystyle x^{2}+x+1\neq 0}$ und aus der falschen Gleichung ${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$ kann nichts Aussagekräftiges mehr gefolgert werden, siehe Paradoxien der materialen Implikation.

Im Komplexen hat das Polynom ${\displaystyle p(x):=x^{2}+x+1}$ zwei konjugiert komplexe Nullstellen ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm i{\sqrt {\frac {3}{4}}}}$, die auch Lösungen von ${\displaystyle x^{3}=1}$ sind. Im Komplexen ist also

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\rightarrow x^{3}=1}$

richtig, aber die umgekehrte Aussage

${\displaystyle x^{3}=1\rightarrow x^{2}+x+1=0}$

falsch, wie das Gegenbeispiel ${\displaystyle x=1}$ zeigt.

Die gleichaltrigen Deutschen

Das Problem ist hier der Schritt von ${\displaystyle n=1}$ auf ${\displaystyle n+1=2}$. Es gibt keine Person ${\displaystyle R}$, die gleichzeitig unter den letzten ${\displaystyle n}$ und unter den ersten ${\displaystyle n}$ Personen ist. Somit kann nicht geschlossen werden, dass, weil die erste Person ${\displaystyle P}$ dasselbe Alter wie ${\displaystyle R}$ hat und die letzte Person ${\displaystyle Q}$ dasselbe Alter wie ${\displaystyle R}$ hat, auch die erste und die letzte Person, ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$, gleichaltrig sind. Für diesen Schluss bedarf es mindestens dreier Personen ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle R}$.

Die größte natürliche Zahl

Alle Schlüsse sind unter der gemachten Prämisse korrekt. Weil diese jedoch widersprüchlich ist – eine größte natürliche Zahl gibt es nicht – kann über den Wahrheitsgehalt der gefundenen Ergebnisse nichts ausgesagt werden. Umgekehrt kann aus obiger Ableitung ein Beweis für die Nicht-Existenz einer größten natürlichen Zahl gemacht werden.

Trugschlüsse in der Geometrie

Gleichschenkligkeit aller Dreiecke

Der Fehler liegt hier darin, dass der Punkt ${\displaystyle O}$ in einem nicht gleichschenkligen Dreieck immer außerhalb des Dreiecks auf seinem Umkreis liegt, und zwar in der Mitte seines Bogens über der Seite ${\displaystyle BC}$. Nach Konstruktion liegen ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle Q}$ auf der simsonschen Gerade mit dem Pol ${\displaystyle O}$. Nach dem Axiom von Pasch können nun ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle R}$ nicht beide auf den Dreiecksseiten zwischen den Ecken liegen. Im Dreieck ${\displaystyle ABC}$ der Zeichnung liegt der Fußpunkt des Lotes von ${\displaystyle O}$ auf ${\displaystyle (AB)}$ nicht auf der Seite ${\displaystyle (AB)}$, sondern auf der Halbgeraden ${\displaystyle [AB}$, von ${\displaystyle A}$ aus gesehen hinter ${\displaystyle B}$. Die Identitäten 5.), 8.) und 10.) treffen zu, aber ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle BR}$ sind entgegengesetzt orientiert. Deshalb lautet 11.) korrekt

${\displaystyle AR=AB+BR=AQ=AC-CQ=AC-BR}$.

Hieraus folgt mitnichten die Gleichschenkligkeit des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.

Leerer Kreis

Der Punkt ${\displaystyle R}$ liegt, anders als in der Skizze, außerhalb des Kreises, weswegen es den Schnittpunkt ${\displaystyle U}$ nicht gibt. Denn aus Gleichung 5.) ${\displaystyle r^{2}=OR^{2}-PR^{2}}$ folgt ${\displaystyle OR^{2}=r^{2}+PR^{2}>r^{2}}$. Der entscheidende Fehler wird also im vierten Schritt gemacht, wo ein Schnittpunkt ${\displaystyle U}$ unterstellt wird, den es nicht geben kann.

Tückische Zerlegungen

Die Diagonalen in den unteren Rechtecken sind nur scheinbar gerade. Würden die Teilstücke unverformt zusammengesetzt, würden die Teile eine Fläche frei lassen, die genau den Inhalt einer Flächeneinheit hat.

Beweisen lässt sich das mit dem Strahlensatz. Im zum Quadrat gehörenden Rechteck sollte auf der Diagonalen

${\displaystyle {\frac {5}{13}}={\frac {3}{8}}={\frac {2}{5}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {200}{520}}={\frac {195}{520}}={\frac {208}{520}}}$

sein, was offensichtlich nicht zutrifft. Im rechten unteren Rechteck sollte

${\displaystyle {\frac {7}{31}}={\frac {5}{22}}={\frac {2}{9}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {1386}{6138}}={\frac {1395}{6138}}={\frac {1364}{6138}}}$

sein, was ebenfalls nicht zutrifft.

Fehlerhafte Annahmen

Die fallende Leiter

Die Ursache dieses Trugschlusses ist die Annahme in 4.), dass die Leiter an der Wand gelehnt bleibt und sie immer berührt. Tatsächlich wird der Zug am Fuß der Leiter auch das obere Ende der Leiter von der Wand wegziehen, so dass der Kontakt aufhört und der Satz von Pythagoras nicht mehr gilt.

Nimmt man jedoch an, dass das obere Ende der Leiter immer an der Wand bleibt, liegt der Trugschluss in der mathematischen Modellierung der physikalischen Welt. Denn der Zustand am Ende des Experiments, wo die Leiter sich angeblich unendlich schnell bewegt, ist bei massebehafteter Leiter in der klassischen Mechanik in endlicher Zeit nur mit unendlich hoher Beschleunigung zu erreichen, was unphysikalisch ist, und in der speziellen Relativitätstheorie wegen der Beschränkung auf Unterlichtgeschwindigkeit gar nicht möglich.

• Math jokes. Aha! Jokes LLC, abgerufen am 6. März 2022 (englisch).
• Geometric Fallacies. (html) cut-the-knot.org, abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch).
• ISSA Proceedings 1998 – Dividing By Zero – And Other Mathematical Fallacies. (html) Rozenberg Quarterly, abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch).
• Classical Fallacies. (html) Abgerufen am 7. Januar 2022 (englisch).
• Der Trugschluss im mathematischen Gewand. (pdf) Abgerufen am 7. Januar 2022.