Beta termodinámica

La beta termodinámica es esencialmente la conexión entre la teoría de la información y la interpretación de la mecánica estadística de un sistema físico a través de su entropía y la termodinámica asociada con su energía. Expresa la respuesta de la entropía ante un aumento de energía. Si se añade una pequeña cantidad de energía al sistema, entonces β describe cuánto se aleatorizará el sistema.

Mediante la definición estadística de la temperatura como función de la entropía, la función de frialdad puede calcularse en el conjunto microcanónico a partir de la fórmula

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}}$

(es decir, la derivada parcial de la entropía S respecto a la energía E a volumen constante V y número de partículas N).

Aunque es completamente equivalente en contenido conceptual a la temperatura, β se considera generalmente una cantidad más fundamental que la temperatura debido al fenómeno de la temperatura negativa, en el cual β es continua al cruzar cero mientras que T presenta una singularidad.^[4]

Además, β tiene la ventaja de ser más fácil de entender causalmente: si se añade una pequeña cantidad de calor a un sistema, β es el aumento de entropía dividido por el aumento de calor. La temperatura es difícil de interpretar en el mismo sentido, ya que no es posible "añadir entropía" a un sistema excepto indirectamente, modificando otras cantidades como la temperatura, el volumen o el número de partículas.

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Desde el punto de vista estadístico, β es una cantidad numérica que relaciona dos sistemas macroscópicos en equilibrio. La formulación exacta es la siguiente. Consideremos dos sistemas, 1 y 2, en contacto térmico, con energías respectivas E₁ y E₂. Suponemos que E₁ + E₂ = una constante E. El número de microestados de cada sistema se denotará por Ω₁ y Ω₂. Bajo nuestras suposiciones, Ω_i depende solo de E_i. También asumimos que cualquier microestado del sistema 1 consistente con E₁ puede coexistir con cualquier microestado del sistema 2 consistente con E₂. Por lo tanto, el número de microestados para el sistema combinado es

${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,}$

Derivaremos β a partir de la suposición fundamental de la mecánica estadística:

Cuando el sistema combinado alcanza el equilibrio, el número Ω se maximiza.

(En otras palabras, el sistema busca naturalmente el número máximo de microestados.) Por lo tanto, en equilibrio,

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}$

Pero E₁ + E₂ = E implica

${\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}$

Así que

${\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}$

es decir,

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{en equilibrio.}}}$

La relación anterior motiva una definición de β:

${\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}$

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Cuando dos sistemas están en equilibrio, tienen la misma temperatura termodinámica T. Por lo tanto, intuitivamente, se esperaría que β (definida a través de microestados) esté relacionada de alguna manera con T. Este vínculo lo proporciona la suposición fundamental de Boltzmann escrita como

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,}$

donde k_B es la constante de Boltzmann, S es la entropía termodinámica clásica y Ω es el número de microestados. Así,

${\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}$

Sustituyendo en la definición de β desde la definición estadística anterior da

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}$

Comparando con la fórmula termodinámica

${\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}$

tenemos

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}$

donde ${\displaystyle \tau }$ se llama la temperatura fundamental del sistema y tiene unidades de energía.