Cociente de Fermat

A partir de la definición, es obvio que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}}$

En 1850, Ferdinand Eisenstein demostró que si a y b son coprimos con respecto a p, entonces:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein permite obtener el corolario siguiente:^[6]

${\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}$

De esto se sigue que:^[7]

${\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}$

M. Lerch demostró en 1905 que^[8][9][10]

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}$

Aquí ${\displaystyle W_{p}}$ es el cociente de Wilson.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p − 1} :

${\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$

Autores posteriores demostraron que el número de términos requeridos en tal representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

${\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[11]

${\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[12]

${\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[13][14]

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

${\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[15]

${\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[16]