Componentes de un vector

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo F, y sea

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

una base de V. Entonces, para cada ${\displaystyle v\in V}$ existe una única combinación lineal de los vectores base que es igual a v:

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Las componentes del vector v relativas a B son una sucesión de coordenadas

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}).}$

Este conjunto de coeficientes también se denomina "representación de v con respecto a B", o "representación respecto a B de v". Las α-s se denominan componentes de v (o también coordenadas de v cuando se requiere utilizar una notación geométrica). El orden de la base se vuelve importante aquí, puesto que determina el orden en el que se enumeran los coeficientes de las componentes del vector.

Las componentes de un vector en espacios vectoriales de dimensión finita se pueden representar mediante matrices como vectores columna o fila. Con la notación anterior, se puede escribir

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

o bien

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}.}$

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Se puede mecanizar la transformación anterior definiendo una función ${\displaystyle \phi _{B}}$, llamada representación estándar de V con respecto a B, que liga cada vector con las componentes de su representación: ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$. Entonces ${\displaystyle \phi _{B}}$ es una transformación lineal de V sobre Fⁿ. De hecho, es un isomorfismo, y su inversa ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$ es simplemente

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Alternativamente, se podría haber definido ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ como la función anterior desde el principio, observando que ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ es un isomorfismo, y definir ${\displaystyle \phi _{B}}$ como su inversa.

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Sea P3 el espacio de todos los polinomios algebraicos de grado como máximo 3 (es decir, el mayor exponente de x puede ser 3). Este espacio es lineal y está representado por los siguientes polinomios:

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

de los que se deduce la matriz identidad

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Entonces, las componentes correspondientes al polinomio

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

Según esa representación, el operador diferencial d/dx, denominado D, estará representado por la siguiente matriz:

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Usando ese método es fácil explorar las propiedades del operador, como su invertibilidad, carácter hermitico, anti-hermítico o ninguno, espectro, autovalores y autovectores, y otras características.

Las matrices de Pauli, que representan el operador espín al transformar los estados cuánticos de espín en coordenadas vectoriales.

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Sean B y C dos bases diferentes de un espacio vectorial V, y denomínese ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$ a la matriz cuyas columnas consisten en la representación C de los vectores base b₁, b₂,…, b_n:

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

Esta matriz se conoce como la matriz de transformación de la base B a la base C. Puede considerarse como un automorfismo sobre V. Cualquier vector v representado en B se puede transformar en una representación en C de la siguiente manera:

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

Si E es la base canónica, la notación se puede simplificar omitiéndola, con la transformación de B a E representada por:

${\displaystyle v=\lbrack M\rbrack ^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.\,}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\lbrack v\rbrack _{E},\\\lbrack M\rbrack ^{B}&=\lbrack M\rbrack _{E}^{B}.\end{aligned}}}$

Bajo la transformación entre bases, se puede observar que el superíndice en la matriz de transformación, M, y el subíndice en el vector de coordenadas, v, son iguales y aparentemente se cancelan, dejando el subíndice restante. Si bien esto puede servir como una ayuda para memorizar la forma de operar estos elementos entre sí, es importante tener en cuenta que en realidad no se está llevando a cabo tal cancelación u operación matemática similar.

La matriz M es una matriz invertible y M⁻¹ es la matriz de transformación de la base C a la base B. En otras palabras,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Id} \\[3pt]={}&\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]={}&\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$