Condiciones de Rankine-Hugoniot

En un sistema de coordenadas que se mueve con la discontinuidad, las condiciones de Rankine-Hugoniot pueden expresarse como:^[4]

${\displaystyle \rho _{1}\,u_{1}=\rho _{2}\,u_{2}\equiv m}$	Conservación de masas
${\displaystyle \rho _{1}\,u_{1}^{2}+p_{1}=\rho _{2}\,u_{2}^{2}+p_{2}}$	Conservación de momentos
${\displaystyle h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}}$	Conservación de la energía

donde «m» es el caudal másico por unidad de superficie, «ρ»₁ y «ρ»₂ son la densidad másica del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, «u»₁ y «u»₂ son la velocidad del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, «p»1 y «p»2 son las presiones en las dos regiones, y «h»1 y «h»2 son las entalpías «específicas» (en el sentido de «por unidad de masa») en las dos regiones. Si, además, el flujo es reactivo, las ecuaciones de conservación de especies exigen que

$${\displaystyle \omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,\dots ,N,\qquad {\text{Conservación de especies}}}$$

desaparezca tanto aguas arriba como aguas abajo de la discontinuidad. Aquí, ${\displaystyle \omega }$ es la tasa de producción de masa de la especie «i» de las «N» especies totales que participan en la reacción.

Combinando la conservación de la masa y el momento, se obtiene

$${\displaystyle {\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}}$$

que define una línea recta conocida como la «línea de Michelson-Rayleigh», llamada así en honor al físico ruso Vladimir A. Mikhelson (normalmente anglicanizado como Michelson) y Lord Rayleigh, que tiene una pendiente negativa (ya que ${\displaystyle m^{2}}$ siempre es positivo) en el plano ${\displaystyle p-\rho ^{-1}}$. ^[5] Utilizando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot para la conservación de la masa y el momento para eliminar “'u”'₁ y “'u”'₂, la ecuación para la conservación de la energía se puede expresar como la ecuación de Hugoniot: $${\displaystyle h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).}$$

La inversa de la densidad también se puede expresar como el volumen específico, ${\displaystyle v=1/\rho }$. Junto con esto, hay que especificar la relación entre la ecuación de estado aguas arriba y aguas abajo $${\displaystyle f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})}$$ donde ${\displaystyle Y_{i}}$ es la fracción de masa de la especie. Por último, se supone que se conoce la ecuación de estado calorífica ${\displaystyle h=h(p,\rho ,Y_{i})}$, es decir, $${\displaystyle h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).}$$

Fuente:^[4]

Se hacen las siguientes suposiciones para simplificar las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Se supone que la mezcla obedece a la ley de los gases ideales, de modo que la relación entre la ecuación de estado aguas abajo y aguas arriba se puede escribir como

$${\displaystyle {\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}}$$

donde ${\displaystyle R}$ es la constante universal de los gases y se supone que el peso molecular medio ${\displaystyle {\overline {W}}}$ es constante (de lo contrario, ${\displaystyle {\overline {W}}}$ dependería de la fracción de masa de todas las especies). Si se supone que el calor específico a presión constante ${\displaystyle c_{p}}$ también es constante a lo largo de la onda, el cambio en las entalpías (ecuación de estado calorífica) se puede escribir simplemente como $${\displaystyle h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})}$$

donde el primer término de la expresión anterior representa la cantidad de calor liberado por unidad de masa de la mezcla aguas arriba por la onda y el segundo término representa el calentamiento sensible. Eliminando la temperatura mediante la ecuación de estado y sustituyendo la expresión anterior para el cambio en las entalpías en la ecuación de Hugoniot, se obtiene una ecuación de Hugoniot expresada solo en términos de presión y densidades,

$${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,}$$

donde ${\displaystyle \gamma }$ es la relación de calor específico, que para el aire a temperatura ambiente normal (298 KELVIN) = 1,40. Una curva de Hugoniot sin liberación de calor (${\displaystyle q=0}$) se denomina a menudo «Hugoniot de choque» o, simplemente, «Hugoniot». Junto con la ecuación de la línea de Rayleigh, la ecuación anterior determina completamente el estado del sistema. Estas dos ecuaciones se pueden escribir de forma compacta introduciendo las siguientes escalas adimensionales:

$${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.}$$

La ecuación de la línea de Rayleigh y la ecuación de Hugoniot se simplifican entonces a

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}}$$

Dadas las condiciones aguas arriba, la intersección de las dos ecuaciones anteriores en el plano ${\displaystyle {\tilde {v}}}$-${\displaystyle {\tilde {p}}}$ determina las condiciones aguas abajo; en el plano ${\displaystyle {\tilde {v}}}$-${\displaystyle {\tilde {p}}}$, la condición aguas arriba corresponde al punto ${\displaystyle ({\tilde {v}},{\tilde {p}})=(1,1)}$. Si no se produce liberación de calor, por ejemplo, ondas de choque sin reacción química, entonces ${\displaystyle \alpha =0}$. Las curvas de Hugoniot son asintóticas a las líneas ${\displaystyle {\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ y ${\displaystyle {\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)}$, que se representan como líneas discontinuas en la figura. Como se menciona en la figura, solo se permite la región blanca delimitada por estas dos asíntotas, de modo que ${\displaystyle \mu }$ sea positivo. Las ondas de choque y las detonaciones corresponden a la región blanca superior izquierda, en la que ${\displaystyle {\tilde {p}}>1}$ y ${\displaystyle {\tilde {v}}<1}$, es decir, la presión aumenta y el volumen específico disminuye a lo largo de la onda (la condición de Chapman-Jouguet para la detonación es aquella en la que la línea de Rayleigh es tangente a la curva de Hugoniot). Las deflagraciones, por otro lado, corresponden a la región blanca inferior derecha en la que ${\displaystyle {\tilde {p}}<1}$ y ${\displaystyle {\tilde {v}}>1}$, es decir, la presión disminuye y el volumen específico aumenta a lo largo de la onda; la disminución de presión de una llama es normalmente muy pequeña, por lo que rara vez se tiene en cuenta al estudiar las deflagraciones.

En el caso de las ondas de choque y las detonaciones, el aumento de presión a lo largo de la onda puede tomar cualquier valor entre ${\displaystyle 0\leq {\tilde {p}}<\infty }$; cuanto más pronunciada es la pendiente de la línea de Rayleigh, más fuerte es la onda. Por el contrario, aquí la relación de volumen específico está restringida al intervalo finito ${\displaystyle (\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)}$ (el límite superior se deriva para el caso ${\displaystyle {\tilde {p}}\rightarrow 0}$ porque la presión no puede tomar valores negativos). Si ${\displaystyle \gamma =1,4}$ (gas diatómico sin excitación del modo vibratorio), el intervalo es ${\displaystyle 1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6}$, es decir, la onda de choque puede aumentar la densidad como máximo en un factor de 6. Para gas monoatómico, ${\displaystyle \gamma =5/3}$, el intervalo permitido es ${\displaystyle 1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4}$. Para gases diatómicos con modo vibratorio excitado, tenemos ${\displaystyle \gamma =9/7}$, lo que da lugar al intervalo ${\displaystyle 1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8}$. En realidad, la relación de calor específico no es constante en la onda de choque debido a la disociación molecular y la ionización, pero incluso en estos casos, la relación de densidad en general no supera un factor de aproximadamente 11-13.^[6]

Consideremos un gas en un recipiente unidimensional (por ejemplo, un tubo largo y delgado). Supongamos que el fluido es no viscoso (es decir, que no muestra efectos de viscosidad, como por ejemplo la fricción con las paredes del tubo). Además, supongamos que no hay transferencia de calor por conducción o radiación y que la aceleración gravitacional puede ignorarse. Dicho sistema puede describirse mediante el siguiente sistema de leyes de conservación, conocido como ecuaciones de Euler unidimensionales, que en forma de conservación es:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\;=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u\right)}$

(1)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u)\,=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u^{2}+p\right)}$

(2)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{t}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(E^{t}+p\right)\right],}$

(3)

donde

• ${\displaystyle \rho ,}$ densidad del fluido,
• ${\displaystyle u,}$ velocidad del fluido,
• ${\displaystyle e,}$ energía interna específica del fluido,
• ${\displaystyle p,}$ presión del fluido, y
• ${\displaystyle E^{t}=\rho e+\rho {\tfrac {1}{2}}u^{2},}$ es la densidad de energía total del fluido, [J/m³], mientras que e es su energía interna específica

Supongamos además que el gas es calóricamente ideal y que, por lo tanto, una ecuación de estado politrópica de la forma simple

${\displaystyle p=\left(\gamma -1\right)\rho e,}$

(4)

, donde ${\displaystyle \gamma }$ es la relación constante de los calores específicos ${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$. Esta cantidad también aparece como el «exponente politrópico» del proceso politrópico descrito por

${\displaystyle {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\text{constante}}.}$

(5)

Para obtener una lista exhaustiva de ecuaciones de flujo compresible, etc., consulte el informe 1135 (1953) del NACA.^[7]

Nota: Para un gas ideal desde el punto de vista calórico, ${\displaystyle \gamma }$ es una constante, y para un gas ideal desde el punto de vista térmico, ${\displaystyle \gamma }$ es una función de la temperatura. En este último caso, la dependencia de la presión con respecto a la densidad de masa y la energía interna puede diferir de la que se da en la ecuación (4).

La condición de salto

Antes de continuar, es necesario introducir el concepto de «condición de salto», una condición que se mantiene en una discontinuidad o cambio brusco.

Consideremos una situación unidimensional en la que hay un salto en la cantidad física conservada escalar ${\displaystyle w}$, que se rige por la ley de conservación integral

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}w\,dx=-f(w){\Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}}$

(6)

para cualquier ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ y, por lo tanto, por la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)=0}$

(6')

para soluciones suaves.^[8]

Supongamos que la solución presenta un salto (o choque) en ${\displaystyle x=x_{s}(t)}$, donde ${\displaystyle x_{1}<x_{s}(t)}$ y ${\displaystyle x_{s}(t)<x_{2}}$, entonces

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\left(\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w\,dx\right)\right]=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)\,dx}$

(7)

${\displaystyle \therefore w_{1}{\frac {dx_{s}}{dt}}-w_{2}{\frac {dx_{s}}{dt}}+\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w_{t}\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w_{t}\,dx=-f(w){\Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}}$

(8)

Los subíndices 1 y 2 indican las condiciones «justo antes» y «justo después» del salto, respectivamente, es decir ${\textstyle w_{1}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$ y ${\textstyle w_{2}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$. ${\displaystyle \therefore }$ es el signo de por lo tanto.

Tenga en cuenta que, para llegar a la ecuación (8), hemos utilizado el hecho de que ${\displaystyle dx_{1}/dt=0}$ y ${\displaystyle dx_{2}/dt=0}$.

Ahora, sea ${\displaystyle x_{1}\to x_{s}(t)-\epsilon }$ y ${\displaystyle x_{2}\to x_{s}(t)+\epsilon }$, cuando tenemos ${\textstyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\to 0}$ y ${\textstyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\to 0}$, y en el límite

${\displaystyle u_{s}\left(w_{1}-w_{2}\right)=f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right),}$

(9)

donde hemos definido ${\displaystyle u_{s}=dx_{s}(t)/dt}$ (la «característica» del sistema o «velocidad de choque»), que mediante una simple división viene dada por

${\displaystyle u_{s}={\frac {f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right)}{w_{1}-w_{2}}}.}$

(10)

La ecuación (9) representa la condición de salto para la ley de conservación (6). Una situación de choque surge en un sistema en el que sus «características» se cruzan, y en estas condiciones, un requisito para una solución única y unívoca es que la solución satisfaga la «condición de admisibilidad» o la «condición de entropía». Para aplicaciones físicamente reales, esto significa que la solución debe satisfacer la «condición de entropía laxa»

${\displaystyle f'\left(w_{2}\right)>u_{s}>f'\left(w_{1}\right),}$

(11)

donde ${\displaystyle f'\left(w_{1}\right)}$ y ${\displaystyle f'\left(w_{2}\right)}$ representan las «velocidades características» en las condiciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente.

Condición de choque

En el caso de la ley de conservación hiperbólica (6), véase que la velocidad de choque se puede obtener mediante una simple división. Sin embargo, para las ecuaciones de Euler 1D (1), (2) y (3), tenemos la variable de estado vectorial ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ y las condiciones de salto se convierten en

${\displaystyle u_{s}\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)=\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}}$

(12)

${\displaystyle u_{s}\left(\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}\right)=\left(\rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}\right)-\left(\rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}\right)}$

(13)

${\displaystyle u_{s}\left(E_{2}-E_{1}\right)=\left[\rho _{2}u_{2}\left(e_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\right]-\left[\rho _{1}u_{1}\left(e_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\right].}$

(14)

Las ecuaciones (12), (13) y (14) se conocen como las «condiciones de Rankine-Hugoniot» para las ecuaciones de Euler y se derivan aplicando las leyes de conservación en forma integral sobre un volumen de control que incluye el choque. En esta situación, ${\displaystyle u_{s}}$ no se puede obtener mediante una simple división. Sin embargo, se puede demostrar transformando el problema a un sistema de coordenadas en movimiento (estableciendo ${\displaystyle u_{s}':=u_{s}-u_{1}}$, ${\displaystyle u'_{1}:=0}$, ${\displaystyle u'_{2}:=u_{2}-u_{1}}$ para eliminar ${\displaystyle u_{1}}$) y mediante algunas manipulaciones algebraicas (que implican la eliminación de ${\displaystyle u'_{2}}$ de la ecuación transformada (13) utilizando la ecuación transformada (12)), que la velocidad del choque viene dada por

${\displaystyle u_{s}=u_{1}+c_{1}{\sqrt {1+{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}-1\right)}},}$

(15)

donde ${\textstyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$ es la velocidad del sonido en el fluido en condiciones aguas arriba.^{[9][10][11][12][13][14]}

Para los choques en sólidos, no se puede derivar una expresión de forma cerrada, como la ecuación (15), a partir de los principios fundamentales. En su lugar, se utilizan observaciones experimentales^[15] indican que existe una relación lineal^[16] (denominada Hugoniot de choque en el plano «u»_s-«u»_p) que tiene la forma

${\displaystyle u_{s}=c_{0}+s\,u_{p}=c_{0}+s\,u_{2}}$

(16)

donde «c»₀ es la velocidad del sonido en el material (en compresión uniaxial), «s» es un parámetro (la pendiente de la onda de choque Hugoniot) obtenido a partir de ajustes a datos experimentales, y «u»_p = «u»₂ es la velocidad de las partículas dentro de la región comprimida detrás del frente de choque.

La relación anterior, cuando se combina con las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa y el momento, se puede utilizar para determinar el choque de Hugoniot en el plano «p-v», donde «v» es el volumen específico (por unidad de masa):^[19]

${\displaystyle p_{2}-p_{1}={\frac {c_{0}^{2}\,\rho _{1}\,\rho _{2}\,\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)}{\left[\rho _{2}-s\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)\right]^{2}}}={\frac {c_{0}^{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)}{\left[v_{1}-s\left(v_{1}-v_{2}\right)\right]^{2}}}\,.}$

(17)

También se pueden utilizar ecuaciones de estado alternativas, como la ecuación de estado de Mie-Grüneisen, en lugar de la ecuación anterior.

El choque Hugoniot describe el lugar geométrico de todos los posibles estados termodinámicos en los que puede existir un material detrás de un choque, proyectado en un plano bidimensional de estado-estado. Por lo tanto, es un conjunto de estados de equilibrio y no representa específicamente la trayectoria a través de la cual un material sufre una transformación.

Los choques débiles son isentrópicos y la isentrópica representa la trayectoria a través de la cual el material es cargado desde el estado inicial al final por una onda de compresión con características convergentes. En el caso de choques débiles, el Hugoniot caerá directamente sobre la isentrópica y podrá utilizarse directamente como trayectoria equivalente. En el caso de un choque fuerte, ya no podemos hacer esa simplificación directamente. Sin embargo, para los cálculos de ingeniería, se considera que la isentrópica está lo suficientemente cerca de la Hugoniot como para poder hacer la misma suposición.

Si la Hugoniot es aproximadamente la trayectoria de carga entre estados para una onda de compresión «equivalente», entonces las condiciones de salto para la trayectoria de carga del choque pueden determinarse trazando una línea recta entre los estados inicial y final. Esta línea se denomina línea de Rayleigh y tiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle p_{2}-p_{1}=u_{s}^{2}\left(\rho _{1}-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}}}\right)}$

(18)

Límite elástico de Hugoniot

La mayoría de los materiales sólidos sufren deformaciones plásticas cuando se someten a fuertes impactos. El punto en el choque Hugoniot en el que un material pasa de un estado puramente elástico a un estado elástico-plástico se denomina límite elástico de Hugoniot (HEL) y la presión a la que se produce esta transición se denota p_HEL. Los valores de p_HEL pueden oscilar entre 0,2 GPa y 20 GPa. Por encima del HEL, el material pierde gran parte de su resistencia al cizallamiento y comienza a comportarse como un fluido.