Conjunto barrilado

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial topológico (EVT). Un subconjunto de ${\displaystyle X}$ se llama barrilado si está cerrado y es convexo, equilibrado y absorbente en ${\displaystyle X.}$ Un subconjunto de ${\displaystyle X}$ se llama bornívoro^[2] si absorbe cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X.}$ Cada subconjunto bornívoro de ${\displaystyle X}$ es necesariamente un subconjunto absorbente de ${\displaystyle X.}$

Sea ${\displaystyle B_{0}\subseteq X}$ un subconjunto de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X.}$ Si ${\displaystyle B_{0}}$ es un subconjunto absorbente y equilibrado de ${\displaystyle X}$; y si existe una sucesión ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ de subconjuntos absorbentes equilibrados de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}}$ para todos los ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,}$ entonces ${\displaystyle B_{0}}$ se denomina suprabarrilado^[3] en ${\displaystyle X,}$ donde además, se dice que ${\displaystyle B_{0}}$ es un(a):

• Suprabarrilado bornívoro si además cada ${\displaystyle B_{i}}$ es un cerrado y subconjunto bornivoro de ${\displaystyle X}$ para cada ${\displaystyle i\geq 0.}$^[3]
• Ultrabarrilado si además cada ${\displaystyle B_{i}}$ es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ por cada ${\displaystyle i\geq 0.}$^[3]
• Ultrabarrilado bornívoro si además cada ${\displaystyle B_{i}}$ es un subconjunto cerrado y bornívoro de ${\displaystyle X}$ para cada ${\displaystyle i\geq 0.}$^[3]

En este caso, ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ se denomina la sucesión definitoria de ${\displaystyle B_{0}.}$^[3]

Téngase en cuenta que cada ultrabarril bornívoro es un ultrabarril, y que cada suprabarril bornívoro es un suprabarril.

• En un espacio vectorial normado la 1-esfera cerrada es un conjunto barrilado.
• Cada espacio localmente convexo tiene una base de entornos que consta de conjuntos barrilados, aunque el espacio en sí no tiene por qué ser un espacio barrilado.