Conjuntos prevalentes y cautos

• Si ${\displaystyle S}$ es cauto, también lo es cada subconjunto de ${\displaystyle S}$ y cada traslación de ${\displaystyle S.}$
• Todo conjunto cauto de Borel ${\displaystyle S}$ admite una medida transversal que es finita y tiene soporte compacto. Además, esta medida se puede elegir de modo que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño.
• Cualquier conjunto numerable finito o unión de conjuntos cautos también es cauto. De manera análoga, prevalece la intersección contable de conjuntos prevalentes.
• Cualquier conjunto cauto también lo es localmente. Si ${\displaystyle V}$ es un espacio separable, entonces cada subconjunto localmente cauto de ${\displaystyle V}$ también lo es.
• Un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un espacio euclídeo ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es cauto si y solo si tiene medida de Lebesgue cero.
• Cualquier subconjunto prevalente ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle V}$ es denso en ${\displaystyle V.}$
• Si ${\displaystyle V}$ es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de ${\displaystyle V}$ es cauto.

En lo sucesivo, se entiende por "casi todos" que la propiedad indicada se cumple en un subconjunto predominante del espacio en cuestión.

• Casi todas las funciones continuas desde el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ hasta la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son funciones diferenciables; aquí el espacio ${\displaystyle V}$ es ${\displaystyle C([0,1];\mathbb {R} )}$ con la topología inducida por la norma del supremo.
• Casi todas las funciones ${\displaystyle f}$ en un espacio ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$ tienen la propiedad de que

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.}$ Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de funciones ${\displaystyle k}$-veces diferenciables ${\displaystyle C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).}$

• Para ${\displaystyle 1<p\leq +\infty ,}$ casi todas las secuencias ${\displaystyle a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}}$ tienen la propiedad de que la serie

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$

diverge.

• Versión de prevalencia del teorema de embebido de Whitney: Sea ${\displaystyle M}$ una variedad compacta de clase ${\displaystyle C^{1}}$ y dimensión ${\displaystyle d}$, contenida en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Para ${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$, casi todas las funciones de ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d+1}}$ es un encaje de ${\displaystyle M.}$
• Si ${\displaystyle A}$ es un subconjunto compacto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con dimensión de Hausdorff-Besicovitch ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle m\geq ,}$ y ${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$ entonces, para casi todas las funciones ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle f(A)}$ también tiene dimensión de Hausdorff ${\displaystyle d.}$
• Para ${\displaystyle 1\leq k\leq +\infty ,}$ casi todas las funciones ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es válido para todos los puntos del período ${\displaystyle p}$, para cualquier número entero ${\displaystyle p.}$

• Hunt, Brian R. (1994). «The prevalence of continuous nowhere differentiable functions». Proc. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 122 (3): 711-717. JSTOR 2160745. doi:10.2307/2160745. 
• Hunt, Brian R. and Sauer, Tim and Yorke, James A. (1992). «Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinite-dimensional spaces». Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (2): 217-238. S2CID 17534021. arXiv:math/9210220. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2.