Cuerpo completo

Los números reales son el cuerpo con la métrica euclidiana estándar ${\displaystyle |x-y|}$. Dado que se construye a partir de la completación de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ con respecto a esta métrica, es un cuerpo completo. Extendiendo los reales a su clausura, se obtiene el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (ya que su grupo absoluto de Galois es ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$). En este caso, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ también es un cuerpo completo, pero en muchos otros casos no es así.

Los números p-ádicos se construyen a partir de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ usando el valor absoluto p-ádico

${\displaystyle v_{p}(a/b)=v_{p}(a)-v_{p}(b)}$

donde ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} .}$ Entonces, usando la factorización ${\displaystyle a=p^{n}c}$ donde ${\displaystyle p}$ no divide a ${\displaystyle c,}$ su valoración es el número entero ${\displaystyle n}$. La completación de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ por ${\displaystyle v_{p}}$ es el cuerpo completo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ llamado números p-ádicos. Este es un caso en el que el cuerpo^[1] no está algebraicamente cerrado. Normalmente, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo nuevamente. Este cuerpo generalmente se denomina ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}.}$

Para el cuerpo funcional ${\displaystyle k(X)}$ de una curva ${\displaystyle X/k,}$ cada punto ${\displaystyle p\in X}$ corresponde a un valor absoluto, o posición, ${\displaystyle v_{p}}$. Dado un elemento ${\displaystyle f\in k(X)}$ expresado por una fracción ${\displaystyle g/h,}$ donde ${\displaystyle v_{p}}$ mide el orden de desvanecimiento de ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle p}$ menos el orden de desvanecimiento de ${\displaystyle h}$ en ${\displaystyle p.}$ Entonces, la completación de ${\displaystyle k(X)}$ en ${\displaystyle p}$ da un nuevo cuerpo. Por ejemplo, si ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$ en ${\displaystyle p=[0:1],}$ es el origen en el gráfico afín ${\displaystyle x_{1}\neq 0,}$ entonces la completación de ${\displaystyle k(X)}$ en ${\displaystyle p}$ es isomorfa al anillo de series de potencias ${\displaystyle k((x)).}$