Cuerpo valorado

En matemáticas, un cuerpo valorado es un cuerpo K provisto de un valor absoluto ${\displaystyle x\mapsto |x|}$.^[1] Esto determina en K una estructura de espacio métrico definida por la distancia invariante ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$, y K, provisto con la topología metrizable así definida, es un anillo topológico.

Por ejemplo, cualquier valoración con valores reales en K permite definir un valor absoluto en K (lo contrario solo es cierto para valores absolutos ultramétricos).^[2] Por este motivo, algunos autores denominan cuerpo valorado a cualquier cuerpo con valoración.

La topología de un cuerpo valorado es discreta si y solo si el valor absoluto es trivial, es decir, derivado de una valoración trivial.^[3]

El anillo completo de un cuerpo valorado es un cuerpo valorado.^[1]

Demostración

Sea ${\displaystyle (K,d)}$ un cuerpo dotado de una distancia asociada a una valoración ${\displaystyle |~|}$ y ${\displaystyle ({\widehat {K}},{\widehat {d}})}$ el anillo completado. Por prolongación de identidades, ${\displaystyle {\widehat {d}}}$ es invariante ante traslaciones y la aplicación ${\displaystyle x\mapsto {\widehat {d}}(x,0)}$ (que prolonga ${\displaystyle |~|}$) es una valoración de ${\displaystyle {\widehat {K}}}$. La aplicación ${\displaystyle K^{*}\to K,\;x\mapsto x^{-1}}$ es ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}$-lipschitziana en ${\displaystyle \{x\in K\mid |x|\geq \varepsilon \}}$ para todos los ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Por lo tanto, se extiende continuamente en una aplicación ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ definida sobre ${\displaystyle \cup _{\varepsilon >0}\{x\in {\widehat {K}}\mid |x|\geq \varepsilon \}={\widehat {K}}^{*}}$.