Demihipercubo
politopo construido a partir de la alternación de un hipercubo
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En geometría, los demihipercubos (también llamados n-demicubos, n-hemicubos y politopos de media medida) son una clase de n-politopos construidos a partir de alternancias de un n-hipercubo, etiquetadas como "hγn" por ser la mitad de la familia de hipercubos γn. Se elimina la mitad de los vértices y se forman nuevas facetas. Las 2n facetas se convierten en 2n (n − 1)-demicubos, y se forman 2n (n − 1)-símplex facetas en lugar de los vértices eliminados.[1]
Se han denominado añadiendo el prefijo demi- a cada nombre de un hipercubo: demicubo, demiteseracto... y así sucesivamente. El demicubo es idéntico al tetraedro regular, y el demiteseracto es idéntico al hexadecacoron regular. El demipenteracto se considera semirregular por tener solo facetas regulares. Las formas superiores no tienen todas las facetas regulares, pero todas son politopos uniformes.
El grafo de vértices y aristas del demihipercubo es el grafo del cubo dividido por la mitad.
Un n-demicubo tiene simetría de inversión si n es par.
Descubrimiento
Thorold Gosset describió el demipenteracto en su publicación de 1900, donde enumeraba todas las figuras regulares y semirregulares en n dimensiones superiores a tres. Lo denominó semiregular 5-ico. También existe dentro de la familia de politopos semirregulares k21.
Los demihipercubos se pueden representar mediante símbolos de Schläfli extendidos de la forma h{4,3,...,3} como la mitad de los vértices de {4,3,...,3}. Las figuras de vértice de los demihipercubos son n-símplex rectificados.
Construcciones
Se representan mediante diagramas de Coxeter-Dynkin de tres formas constructivas:
... (como un hiperrectángulo alternado) s{21,1,...,1}
... (como un hipercubo alternado) h{4,3n−1}
... (como un demihipercubo) {31,n−3,1}
Harold Scott MacDonald Coxeter también etiqueta los terceros diagramas de bifurcación como 1k1, que representan las longitudes de las tres ramas y están precedidos por la rama anillada.
Un n-demicubo, con n mayor que 2, tiene n(n − 1)/2 aristas que convergen en cada vértice. Los gráficos que se muestran a continuación presentan menos aristas en cada vértice debido a la superposición de aristas en la proyección simétrica.
| n | 1k1 | Proyección sobre el plano de Coxeter |
Símbolo de Schläfli | Diagrama de Coxeter-Dynkins A1n Bn Dn |
Elementos | Facetas: Demihipercubos & Símplices |
Figura de vértice | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vértices | Aristas | Caras | Celdas | 4-caras | 5-caras | 6-caras | 7-caras | 8-caras | 9-caras | |||||||
| 2 | 1−1,1 | demicuadrado (dígono)  |
s{2} h{4} {31,−1,1} |
     |
2 | 2 | 2 aristas |
-- | ||||||||
| 3 | 101 | demicubo (tetraedro)   |
s{21,1} h{4,3} {31,0,1} |
   |
4 | 6 | 4 | (6 dígonos) 4 triángulos |
Triángulo (triángulo rectificado) | |||||||
| 4 | 111 | demiteseracto (16-celda)   |
s{21,1,1} h{4,3,3} {31,1,1} |
|
8 | 24 | 32 | 16 | 8 demicubos (tetraedros) 8 tetraedros |
Octaedro (tetraedro rectificado) | ||||||
| 5 | 121 | demipenteracto  |
s{21,1,1,1} h{4,33}{31,2,1} |
|
16 | 80 | 160 | 120 | 26 | 10 16-celdass 16 5-celdas |
5-celda rectificada | |||||
| 6 | 131 | demihexeracto  |
s{21,1,1,1,1} h{4,34}{31,3,1} |
|
32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | 12 demipenteractos 32 5-símplices |
Hexáteron rectificado | ||||
| 7 | 141 | demihepteracto  |
s{21,1,1,1,1,1} h{4,35}{31,4,1} |
|
64 | 672 | 2240 | 2800 | 1624 | 532 | 78 | 14 demihexeractos 64 6-símplices |
6-símplex rectificado | |||
| 8 | 151 | demiocteracto  |
s{21,1,1,1,1,1,1} h{4,36}{31,5,1} |
|
128 | 1792 | 7168 | 10752 | 8288 | 4032 | 1136 | 144 | 16 demihepteractos 128 7-símplices |
7-símplex rectificado | ||
| 9 | 161 | demienneracto  |
s{21,1,1,1,1,1,1,1} h{4,37}{31,6,1} |
|
256 | 4608 | 21504 | 37632 | 36288 | 23520 | 9888 | 2448 | 274 | 18 demiocteractos 256 8-símplices |
8-símplex rectificado | |
| 10 | 171 | demidekeracto  |
s{21,1,1,1,1,1,1,1,1} h{4,38}{31,7,1} |
|
512 | 11520 | 61440 | 122880 | 142464 | 115584 | 64800 | 24000 | 5300 | 532 | 20 demienneractos 512 9-símplices |
9-símplex rectificado |
| ... | ||||||||||||||||
| n | 1n−3,1 | n-demicubo | s{21,1,...,1} h{4,3n−2}{31,n−3,1} |
......... |
2n−1 | 2n (n − 1)-demicubos 2n−1 (n − 1)-símplices |
(n − 1)-símplex rectificado | |||||||||
En general, los elementos de un demicubo se pueden determinar a partir del cubo original de n caras: (con Cn,m = mth - número de caras de un n-cubo = 2n−m n!/(m!(n − m)!))
- Vértices: Dn,0 = 1/2 Cn,0 = 2n−1 (se conserva la mitad de los vértices del cubo de n caras)
- Aristas: Dn,1 = Cn,2 = 1/2 n(n – 1) 2n−2 (se pierden todas las aristas originales; cada cara cuadrada crea una nueva arista)
- Caras: Dn,2 = 4 * Cn,3 = 2/3 n(n − 1)(n − 2) 2n−3 (se pierden todas las caras originales; cada cubo crea 4 nuevas caras triangulares)
- Celdas: Dn,3 = Cn,3 + 23 Cn,4 (tetraedros de las celdas originales más otros nuevos)
- Hiperceldas: Dn,4 = Cn,4 + 24 Cn,5 (16 celdas y 5 celdas respectivamente)
- ...
- [Para m = 3, ... , n − 1]: Dn,m = Cn,m + 2m Cn,m+1 (m demicubos y m símplices respectivamente)
- ...
- Caras: Dn,n−1 = 2n + 2n−1 ((n − 1)-demicubos y (n − 1)-símplices respectivamente)
Grupo de simetría
El estabilizador del demihipercubo en el grupo hiperoctaédrico (el grupo de Coxeter [4,3n−1]) tiene índice 2. Es el grupo de Coxeter [3n−3,1,1] de orden , y se genera mediante permutaciones de los ejes de coordenadas y reflexiones en pares de ejes de coordenadas.[2]
Construcciones ortotópicas
Las construcciones como los ortótropos alternados tienen la misma topología, pero pueden estirarse con diferentes longitudes en los n ejes de simetría.
El disfenoide es el ejemplo tridimensional de un cuboide alternado. Tiene tres conjuntos de longitudes de arista y caras con forma de triángulo escaleno.
Véase también
- Panal hipercúbico
- E-politopo semirregular
