Tetraedro regular

Exclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro:

• Radio R de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vértices del mismo):

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a\approx 0,6124\cdot a}$

• Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro):

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a\approx 0,2041\cdot a}$

• Radio ρ de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a\approx 0,3536\cdot a}$

• Radio ${\displaystyle r_{\mathrm {ex} }}$ de la exesfera (una esfera exterior que toca una de las caras de un tetraedro regular y los planos definidos al extender las caras adyacentes hacia afuera)

${\displaystyle r_{\mathrm {ex} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0,4082\cdot a}$

• Distancia mínima entre aristas opuestas d_a, la longitud del segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio ρ de la esfera tangente a las aristas del tetraedro:

${\displaystyle d_{a}=2\cdot \rho ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a\approx 0,7071\cdot a}$

• Altura H, la distancia desde una cara a su vértice opuesto:^[6][7]

${\displaystyle H={\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\approx 0,81649658093\cdot a}$

Dado un tetraedro regular de arista a, su volumen V es un tercio del área de la base por la altura, la fórmula general para una pirámide:^[8][6][9]

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)\cdot {\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot a^{3}\approx 0,1178511302\cdot a^{3}}$

Esta fórmula también se puede deducir dividiendo un cubo en un tetraedro y en cuatro pirámides triangulares.^[10]

El área total de sus caras A (que es 4 veces el área de una de ellas, A_c), se calcula mediante la fórmula:^[6][9]

${\displaystyle A=4\cdot A_{c}=4\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}={\sqrt {3}}\cdot a^{2}\approx 1,732050808\cdot a^{2}}$

Los ángulos planos que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60° (π/3 rad), al constituir los ángulos interiores de un triángulo equilátero.

Los ángulos diedros que forman las caras son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y pueden calcularse:

${\displaystyle \delta =2\cdot \arcsin {\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 1,23\ {\text{rad}}\ (70^{\circ }31'43,61'')}$

De forma equivalente, dado que la distancia más corta entre el centroide y un vértice es un tercio de la altura de un triángulo equilátero, el ángulo diedro (es decir, el ángulo entre dos caras triangulares) de un tetraedro regular es:^[11]

${\textstyle \arccos \left(1/3\right)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\approx 70.529^{\circ }}$

Los ángulos sólidos que forman los vértices son, como en el resto de los sólidos platónicos, todos iguales, y se calculan de la forma siguiente:

${\displaystyle \omega ={\frac {A_{c}}{H^{2}}}={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}}{\left({\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\right)^{2}}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}sr\approx 0,650\ {\text{sr}}}$

Su ángulo sólido en un vértice subtendido por una cara es ${\textstyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)=3\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)-\pi ,}$ o aproximadamente 0,55129 estereorradianes o 1809,8 grados cuadrados.^[12]

Para un tetraedro regular con arista ${\displaystyle a}$ y radio de la esfera circunscrita ${\displaystyle R}$, las distancias ${\displaystyle d_{i}}$ desde un punto arbitrario en el espacio tridimensional hasta sus cuatro vértices satisfacen las ecuaciones siguientes:^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2},\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Con respecto al plano de la base, la pendiente de una cara (2√2) es el doble que la de una arista (√2), lo que corresponde al hecho de que la distancia horizontal recorrida desde la base hasta el ápice por una arista es el doble que la distancia horizontal recorrida por la mediana de una cara. En otras palabras, si C es el centroide de la base, la distancia desde C a un vértice de la base es el doble de la distancia desde C al punto medio de una arista de la base. Esto se debe a que las medianas de un triángulo se intersecan en su centroide, y este punto divide cada una de ellas en dos segmentos, uno de los cuales es el doble de largo que el otro (véase centroide).

El tetraedro regular tiene un grupo de simetría tridimensional conocido como simetría tetraédrica ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$. Este grupo de simetría tiene 24 isometrías, que contienen siete ejes de rotación y seis planos de reflexión. Los siete ejes de rotación son los cuatro ejes de simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) que pasan por un vértice hasta el centroide de una cara triangular equilátera, y los tres ejes de simetría rotacional doble (0° y 180°) pasan por el punto medio de dos aristas. Este grupo puntual tiene simetría tetraédrica rotacional ${\displaystyle \mathrm {T} }$.^[14] Las seis reflexiones en un plano perpendicular a una arista, seis reflexiones en un plano combinadas con una rotación de 90° alrededor de un eje perpendicular al plano, constan de tres ejes, y dos por cada eje, lo que implica seis en total (equivalentemente, son rotaciones de 90° combinadas con inversión).

Los vértices de un cubo se pueden agrupar en dos grupos de cuatro, cada uno formando un tetraedro regular, que muestra uno de los dos tetraedros del cubo. Las simetrías de un tetraedro regular corresponden a la mitad de las de un cubo: aquellas que hacen corresponder a los tetraedros sobre sí mismos, y no entre sí. El tetraedro es el único sólido platónico que no se transforma sobre sí mismo mediante simetría central.

De forma resumida:

• Un tetraedro regular tiene cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de tetraedro; y seis planos de simetría, los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 24: 2x(4x3).
• Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría tetraédricos, el denominado T_d según la notación de Schläfli.
• El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta.
• Un plano que pasa por una arista y el punto medio de la arista opuesta de un tetraedro regular es un plano de simetría del tetraedro regular. En total hay 6 planos de simetría.^[15]

Proyecciones ortogonales

Centrado por	Cara/vértice	Arista
Imagen
Simetría proyectiva	[3]	[4]

El tetraedro regular posee dos operadores de proyección especiales: uno centrado en un vértice o, equivalentemente, en una cara, y otro centrado en una arista. El primero corresponde al plano de Coxeter A₂.

Las proyecciones ortogonales de un tetraedro regular sobre un plano pueden ser:

• Triángulos;
  • En particular, si el plano de proyección es paralelo a una cara, la proyección del tetraedro es un triángulo equilátero, correspondiente a una cara en verdadera magnitud.
• Cuadriláteros;
  • En particular, si el plano de proyección es paralelo a dos aristas opuestas del tetraedro, la proyección es un cuadrado, con un lado igual a la longitud de la arista del tetraedro dividida por la raíz cuadrada de dos.

El tetraedro regular es el único sólido platónico conjugado de sí mismo (se suele denominar autoconjugado), ya que el poliedro conjugado de un tetradro de arista a es otro tetraedro de arista b, tal que:

${\displaystyle b={\frac {a}{3}}}$

Las infinitas secciones que podemos tomar de un tetraedro regular pueden resultar:

• Triángulos;
  • En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro es un triángulo equilátero.
• Cuadriláteros;
  • En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a dos aristas opuestas es un rectángulo.
  • Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte equidista de ambas, la sección resultante es un cuadrado de lado mitad de la arista del tetraedro. Como existen tres pares de aristas opuestas, un tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por tres planos diferentes.

El tetraedro regular posee infinitas líneas geodésicas cerradas, todas simples.^[16][17]

Es posible incluir un tetraedro regular en un cubo de tal forma que cada uno de los vértices del tetraedro coincida con un vértice del cubo, coincidiendo las aristas del tetraedro con diagonales de las caras del cubo. El volumen del cubo necesario para incluir un tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro. Hay dos posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en esta forma;

• Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones son perpendiculares entre sí (son las diagonales cruzadas de las caras del cubo).

• Las tres secciones cuadradas de ambos tetraedros coinciden.

• El sólido conjunto (o macla) de ambas es un poliedro compuesto denominado estrella octángula de Kepler (stella octangula).

• El sólido común de ambos es un octaedro regular de arista mitad que la de los tetraedros.

No es posible rellenar el espacio únicamente con tetraedros regulares (aunque, parece ser, que Aristóteles así lo creía), pero sí es posible hacerlo con elementos formados por una combinación de un octaedro regular y dos tetraedros regulares.

De las infinitas formas de truncar un tetraedro regular, hay dos que producen resultados singulares:

• Truncando el tetraedro con planos que pasen por el punto medio de sus aristas, se obtiene un octaedro regular.

• Truncando el tetraedro con planos que pasen por la tercera parte de sus aristas, se obtiene un sólido arquimediano que toma el nombre genérico de tetraedro truncado.

Un tetraedro no puede ser estrellado, puesto que todas las intersecciones entre los planos de las caras del tetraedro son aristas del tetraedro.

La estrella octángula se construye extendiendo sus caras para formar triángulos equiláteros en cada cara de un octaedro regular. Desde la perspectiva de un politopo compuesto, esta figura comprende dos tetraedros duales,^[18] una autodualidad debida a que comparten una esfera intermedia común en el centro.^[19] Otro compuesto poliédrico interesante es el compuesto de cinco tetraedros, conocido desde hace cientos de años. Aparece con frecuencia en el mundo del origami. La unión de los veinte vértices formaría un dodecaedro regular. Existen las formas dextrógira y levógira, que son especulares entre sí. La superposición de ambas formas da como resultado un compuesto de diez tetraedros, en el que los diez tetraedros se disponen como cinco pares de estrellas octángulas.

Muchos poliedros se construyen a partir de tetraedros regulares. Al truncar los vértices de un tetraedro regular, se obtiene un tetraedro truncado.^[20] El dual de este sólido es el triaquistetraedro, un tetraedro regular con cuatro pirámides triangulares unidas a cada una de sus caras, es decir, su kleetopo.^[21] Algunos sólidos de Johnson, como la pirámide triangular elongada y la bipirámide triangular elongada, se construyen uniendo uno y dos tetraedros regulares a las bases de un prisma triangular; la bipirámide triangular se construye uniendo dos tetraedros regulares cara a cara.^[22]

Los tetraedros regulares se pueden apilar cara a cara en una cadena aperiódica quiral llamada hélice de Boerdijk-Coxeter.

El pentácoron es un politopo de cuatro dimensiones, una generalización de un tetraedro en el espacio de cuatro dimensiones. Está delimitado por cinco tetraedros regulares, conocidos como celdas.^[23]

En cuatro dimensiones, todos los 4-politopos regulares convexos con celdas tetraédricas (5-celdas, 16-celdas y 600-celdas) pueden construirse como teselaciones de 3-esferas mediante estas cadenas, que se vuelven periódicas en el espacio tridimensional de la superficie límite del 4-politopo.

El invariante de Dehn de un tetraedro regular se define como un producto tensorial de la longitud de la arista y el ángulo diedro de un tetraedro regular ${\textstyle 6a\otimes \arccos {\frac {1}{3}}}$, que es distinto de cero, donde ${\displaystyle a}$ es la longitud de la arista de un tetraedro regular. El invariante de Dehn tiene su origen en el Tercer problema de Hilbert, uno de los 23 problemas planteados por el matemático alemán David Hilbert, quien preguntó si, dados dos poliedros cualesquiera con el mismo volumen, el primero puede dividirse en piezas que luego se reensamblan para formar el segundo. Su alumno, Max Dehn, dio la respuesta negativa con la demostración de su invariante.^[24]

Todo poliedro con un invariante de Dehn igual a cero puede recubrir un espacio con sus copias, uniendo sus caras, formando un panal. Dado que el tetraedro regular tiene un invariante de Dehn distinto de cero, no puede hacerlo solo. Un resultado relacionado es que dos poliedros diferentes que se unen para cubrir el espacio pueden tener un invariante de Dehn igual a cero.^[25] En el caso de un tetraedro regular, se puede alternar con octaedros regulares en una proporción de dos tetraedros por cada octaedro, formando un panal cúbico alternado.^[26]

El tetraedro también puede representarse como un poliedro esférico (en trigonometría esférica) y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica. Esta proyección es una transformación conforme, que conserva los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas en la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.

Los pares de aristas opuestas de un tetraedro regular (perpendiculares entre sí) definen un conjunto de planos paralelos. Cuando uno de estos planos interseca el tetraedro, la sección transversal resultante es un rectángulo.^[27] Cuando el plano de intersección está cerca de una de las aristas, el rectángulo es largo y estrecho. A medio camino entre las dos aristas, la intersección es un cuadrado. La relación de aspecto del rectángulo se invierte al pasar este punto medio. Para la intersección cuadrada del punto medio, la línea límite resultante atraviesa todas las caras del tetraedro de forma similar. Si el tetraedro se divide por la mitad según este plano, ambas mitades se convierten en cuñas.