Electromagnetismo clásico y relatividad especial

Esta ecuación considera dos sistemas de referencia inercial. El marco con apóstrofes (prima) se mueve en relación con el otro marco a una velocidad v. Los campos definidos en el marco prima se indican mediante valores con comilla, y los campos definidos en el otro marco carecen de comilla. Los componentes del campo paralelos a la velocidad v se denotan como ${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }}$ y ${\displaystyle \mathbf {B} _{\parallel }}$, mientras que las componentes del campo perpendiculares a v se denotan como ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$ y ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$. En estos dos marcos que se mueven a velocidad relativa v, los campos E y B están relacionados por:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$

donde

${\displaystyle \gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

se llama factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el vacío. Las ecuaciones anteriores están en formuladas según el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el Sistema Cegesimal de Unidades estas ecuaciones se pueden obtener reemplazando ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$ por ${\displaystyle {\frac {1}{c}}}$ y ${\displaystyle v\times B}$ por ${\displaystyle {\frac {1}{c}}v\times B}$, excepto ${\displaystyle \gamma }$. El factor de Lorentz (${\displaystyle \gamma }$) es el mismo en ambos sistemas. Las transformaciones inversas son las mismas excepto v → −v.

Una expresión alternativa equivalente es:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}}$ es el vector unitario de la velocidad. Con las notaciones anteriores, en realidad se tiene que ${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }}$ y ${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$.

Componente por componente, para el movimiento relativo en el eje x ${\displaystyle \mathbf {v} =(v,0,0)}$, esto resulta ser lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

Si uno de los campos es cero en un marco de referencia, eso no significa necesariamente que sea cero en todos los demás marcos de referencia. Esto se puede ver, por ejemplo, haciendo que el campo eléctrico sin primas sea cero en la transformación al campo eléctrico con primas. En este caso, dependiendo de la orientación del campo magnético, el sistema con primas podría ver un campo eléctrico, aunque no haya ninguno en el sistema sin primas.

Esto no significa que se vean dos conjuntos de eventos completamente diferentes en los dos marcos de referencia, sino que la misma secuencia de eventos se describe de dos maneras diferentes (véase Problema del movimiento del imán y del conductor a continuación).

Si una partícula de carga q se mueve con velocidad u con respecto al marco S, entonces la fuerza de Lorentz en el marco S es:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$

En el marco S', la fuerza de Lorentz es:

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'} }$

Aquí se proporciona una deducción de la transformación de la fuerza de Lorentz para el caso particular de u = 0.^[4] Se puede ver uno más general aquí.^[5]

Las transformaciones en esta forma se pueden hacer más compactas introduciendo el tensor de campo electromagnético (definido a continuación), que es un tensor covariante.

Para la densidad de flujo eléctrico D y la intensidad magnética H, usando las relaciones constitutivas y el resultado para c²:

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

da

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

De manera análoga a E y B, D y H forman el tensor de desplazamiento electromagnético.

Una transformación alternativa más simple del campo EM utiliza los potenciales electromagnéticos: el potencial eléctrico φ y el potencial magnético A:^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle A_{\parallel }}$ es la componente paralela de A a la dirección de la velocidad relativa entre marcos v, y ${\displaystyle \scriptstyle A_{\bot }}$ es la componente perpendicular. Estas se asemejan claramente a la forma característica de otras transformaciones de Lorentz (como la posición temporal y la energía-momento), mientras que las transformaciones de E y B anteriores son un poco más complicadas. Los componentes se pueden agrupar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

De manera análoga para la carga eléctrica ρ y la densidad de corriente J,^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

Agrupando componentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Para velocidades v « c, el factor relativista γ ≈ 1, lo que produce:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}}$

de modo que no hay necesidad de distinguir entre las coordenadas espaciales y temporales en las ecuaciones de Maxwell.

A una parte de la fuerza entre cargas en movimiento la llamamos fuerza magnética. En realidad, es un aspecto de un efecto eléctrico.

Richard Feynman^[7]

El marco de referencia elegido determina si un fenómeno electromagnético se considera un efecto eléctrico o magnético, o una combinación de ambos. Los autores suelen deducir el magnetismo de la electrostática cuando se tienen en cuenta la relatividad especial y la invariancia de carga. En Las Conferencias Feynman sobre Física (vol. 2, cap. 13-6) se utiliza este método para obtener la expresión de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento paralelo junto a un cable que transporta corriente. Véase también Haskell^[8] y Landau.^[9]

Si en cambio la carga se mueve según una dirección perpendicular a un cable que transporta corriente, la electrostática no se puede utilizar para deducir la fuerza magnética. En este caso, se puede obtener su expresión considerando la compresión relativista del campo eléctrico debida al movimiento de las cargas en el cable.^[10]

Las reglas de transformación anteriores muestran que el campo eléctrico en un marco de referencia contribuye al campo magnético en otro, y viceversa.^[11] Esto a menudo se describe diciendo que el campo eléctrico y el campo magnético son dos aspectos interrelacionados de un solo objeto, llamado campo electromagnético. De hecho, todo el campo electromagnético se puede representar mediante un único tensor de rango 2 llamado tensor de campo electromagnético (véase más adelante).

Un ejemplo famoso de la mezcla de fenómenos eléctricos y magnéticos en diferentes marcos de referencia es el llamado "problema del movimiento del imán y del conductor", citado por Einstein en su artículo de 1905 sobre la Relatividad Especial.

Si un conductor se mueve con velocidad constante a través del campo de un imán estacionario, se producirán corrientes de Foucault debidas a la presencia de una fuerza magnética sobre los electrones del conductor. En cambio, en el marco en reposo del conductor, el imán estará en movimiento y el conductor permanece estacionario. La teoría electromagnética clásica predice que se producirán precisamente las mismas corrientes parásitas microscópicas, pero serán debidas a la presencia de una fuerza eléctrica.^[12]