Tensor de energía-impulso electromagnético

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En espacio plano las unidades del tensor son:^[1]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

Dónde ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ es el tensor electromagnético y donde ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ es el tensor métrico de Minkowski de firma métrica (−+++). Cuándo se utiliza la métrica con firma (+−−−), la expresión para ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ tendrá signo opuesto.

Explícitamente en forma matricial:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&S_{\text{x}}/c&S_{\text{y}}/c&S_{\text{z}}/c\\S_{\text{x}}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\S_{\text{y}}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\S_{\text{z}}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$

Dónde

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

Es el vector de Poynting,

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$

Es el tensor de tensión de Maxwell, y c es la velocidad de la luz. Así, ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ está expresado y medido en SI unidades de presión (pascales).

La permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del espacio libres en las unidades CGS-Gaussianas son

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}$

Por tanto:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}$

Y en forma matricial explícita:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})&S_{\text{x}}/c&S_{\text{y}}/c&S_{\text{z}}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\S_{\text{y}}/c&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\S_{\text{z}}/c&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}$

Dónde el vector de Poynting  se expresa como:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$

El tensor de energía–impulso para un campo electromagnético en un medio dieléctrico es menos bien entendido y es el tema de la controversia Abraham–Minkowski todavía irresoluta.^[2]

El elemento ${\displaystyle T^{\mu \nu }\!}$ del tensor de impulso-energía representa el flujo del μ-ésimo componente del cuatro-momento del campo electromagnético, ${\displaystyle P^{\mu }\!}$, pasando por un hiperplano (${\displaystyle x^{\nu }}$ es constante). Representa la contribución de electromagnetismo a la fuente del campo gravitacional (curvatura de espacio–tiempo) en la relatividad general.

El tensor de energía-impulso electromagnético tiene varias propiedades algebraicas:

• Es un tensor simétrico:

${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}$

• El tensor ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }}$ es de traza cero: :${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0}$.

• La densidad de energía está definida positivamente:

${\displaystyle T^{00}\geq 0}$

La simetría del tensor es común a cualquier tensor de impulso-energía de la relatividad general, la traza cero se debe a que el fotón carece de masa.^[3]

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El tensor de energía-impulso permite escribir de una manera compacta las leyes de conservación de energía y momento. La divergencia del tensor de energía-impulso electromagnético es:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}$

Dónde ${\displaystyle f_{\rho }}$ es la (4D) Fuerza de Lorentz por unidad de volumen 

Esta ecuación es equivalente a las siguientes leyes de conservación en 4D:

${\displaystyle {\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} =0\,}$ (or equivalently ${\displaystyle \mathbf {f} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,=\nabla \cdot \mathbf {\sigma } }$ with ${\displaystyle \mathbf {f} }$ siendo f la densidad de fuerza del Lorentz).

Siendo la densidad de energía electromagnética:

${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}$

Y la densidad de momento electromagnético:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}$

Dónde J es la densidad actual eléctrica y ρ la densidad de carga eléctrica.