Espacio F

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Todos los espacios de Banach y los espacios de Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$^[1]

Los espacios L^p se puede convertir en espacios F para todos los ${\displaystyle p\geq 0}$ y para ${\displaystyle p\geq 1}$ se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach.

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$ es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos; tiene espacio dual trivial.

Sea ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ el espacio de todas las serie de Taylor con valores complejos

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$

en el disco unitario ${\displaystyle \mathbb {D} }$, de modo que

${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$

entonces, para ${\displaystyle 0<p<1,}$, ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ son espacios F bajo espacios Lp:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$

De hecho, ${\displaystyle W_{p}}$ es un álgebra casi de Banach. Además, para cualquier ${\displaystyle \zeta }$ con ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$, la aplicación ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$ es lineal acotada (funcional multiplicativo) en ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

Teorema[2][3] Sea ${\displaystyle d}$ una métrica cualquiera[nota 1] en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ tal que la topología ${\displaystyle \tau }$ inducida por ${\displaystyle d}$ en ${\displaystyle X}$ convierte a ${\displaystyle (X,\tau )}$ en un espacio vectorial topológico. Si ${\displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico completo, entonces ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un espacio vectorial topológico completo.

El teorema de la función abierta implica que si ${\displaystyle \tau {\text{and }}\tau _{2}}$ son topologías en ${\displaystyle X}$ que convierten a ${\displaystyle (X,\tau )}$ y ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ en espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, de Banach o de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{then }}\tau =\tau _{2}}$).^[4]

• Una aplicación lineal casi continua en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es continua.^[5]
• Una aplicación lineal casi abierta en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es necesariamente una aplicación abierta.^[5]
• Una aplicación lineal casi abierta continua de un espacio F es necesariamente una aplicación abierta.^[6]
• Una aplicación lineal continua casi abierta de un espacio F cuya imagen es exigua en el codominio es necesariamente una aplicación abierta sobreyectiva.^[5]