Filtración (álgebra abstracta)

En matemáticas, una filtración ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es un conjunto indexado S_i de subestructuras de una estructura algebraica S, recorriendo el subíndice i cierto conjunto I (el conjunto I debe ser un conjunto totalmente ordenado) y cumpliendo la condición:

${\displaystyle \forall i,j\in I:i\leq j\Rightarrow S_{i}\subseteq S_{j}}$

Si el índice i es el parámetro tiempo de un proceso estocástico, entonces la filtración puede interpretarse como una representación de todo el histórico de información hasta un instante dado, y nunca incluirá información que sólo estará disponible en el futuro. Así el objeto S_i irá haciéndose más informativo y complejo a medida que i crece. Definido eso, un proceso se dice adaptado a la filtración ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, si es un proceso no anticipatorio, es decir, "no puede prever el futuro".^[1]

A veces, como en una álgebra filtrada, se impone el requerimiento de que las ${\displaystyle S_{i}}$ sean subálgebras con respecto a algunas operaciones determinadas (como por ejemplo, la suma vectorial), pero no necesariamente con respecto a otras. A veces, se asume que las filtraciones satisfarán requerimientos adicionales como que la unión de todas las ${\displaystyle S_{i}}$ debe ser el conjunto ${\displaystyle S}$ completo, o el que homomorfismo canónico del límite directo de las ${\displaystyle S_{i}}$ en ${\displaystyle S}$ sea de hecho isomorfismo.