Forma modular simulada

• Cualquier forma modular de peso k (posiblemente solo meromórfica en las cúspides) es una forma modular simulada de peso k con sombra 0.
• La serie cuasimodular de Eisenstein

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

de peso 2 y nivel 1 es una forma modular simulada de peso 2, cuya sombra es una constante. Esto significa que

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-3/\pi y}$

se transforma como una forma modular de peso 2 (donde τ = x + iy).

• La función estudiada por Zagier (1975) (Hirzebruch y Zagier, 1976, 2.2) con coeficientes de Fourier que son números de clase de Hurwitz H(N) de campos cuadráticos imaginarios, es una forma modular simulada de peso 3/2, nivel 4 y sombra ∑q ⁿ². La forma de onda de Maass débil correspondiente es

${\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}}$

donde

${\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du}$

y además y = Im(τ), q = e^2πiτ.

Las funciones theta simuladas son formas modulares simuladas de peso 1/2 cuya sombra es una función theta unitaria, multiplicada por una potencia racional de q (por razones históricas). Antes de que el trabajo de Zwegers condujera a un método general para construirlos, la mayoría de los ejemplos se daban como funciones hipergeométricas básicas, pero esto es en gran medida un accidente histórico, y la mayoría de las funciones theta simuladas no tienen una expresión simple conocida en términos de tales funciones.

Las funciones theta simuladas "triviales" son las formas modulares (holomorfas) de peso 1/2, que fueron clasificadas por Serre y Stark (1977), quien demostró que todas podían escribirse en términos de funciones theta de redes unidimensionales.

Los siguientes ejemplos utilizan los símbolos de q-Pochhammer ${\displaystyle (a;q)_{n}}$ que se definen como:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}$

(McIntosh, 2007) estudió algunas funciones de simulación theta de orden 2.

${\displaystyle A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sucesión A006304 en OEIS)

${\displaystyle B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (sucesión A153140 en OEIS)

${\displaystyle \mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}}$ (sucesión A006306 en OEIS)

La función μ fue encontrada por Ramanujan, tal como figura en su cuaderno perdido.

Están relacionadas con las funciones enumeradas en la sección de las funciones orden 8, por

${\displaystyle U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu (q)}$

${\displaystyle V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})}$

${\displaystyle V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})}$

Ramanujan mencionó cuatro funciones theta simuladas de orden 3 en su carta a Hardy, y enumeró otras tres en su cuaderno perdido, que fueron redescubiertas por George Neville Watson.Watson (1936) probó las relaciones entre ellas declaradas por Ramanujan y también encontró sus transformaciones bajo elementos del grupo modular al expresarlas como sumas de Appell-Lerch.Dragonette (1952) describió la expansión asintótica de sus coeficientes.Zwegers (2000) los relacionó con formas armónicas débiles de Maass. Véase también (Fine, 1988)

Las siete funciones theta simuladas de orden 3 dadas por Ramanujan son

${\displaystyle f(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over (-q;q)_{n}^{2}}={2 \over \prod _{n>0}(1-q^{n})}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{(-1)^{n}q^{n(3n+1)/2} \over 1+q^{n}}}$, (sucesión A000025 en OEIS).

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over (-q^{2};q^{2})_{n}}={1 \over \prod _{n>0}(1-q^{n})}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2} \over 1+q^{2n}}}$ (sucesión A053250 en OEIS).

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n>0}{q^{n^{2}} \over (q;q^{2})_{n}}={q \over \prod _{n>0}(1-q^{4n})}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{(-1)^{n}q^{6n(n+1)} \over 1-q^{4n+1}}}$ (sucesión A053251 en OEIS).

${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over \prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})}={1 \over 2\prod _{n>0}(1-q^{n})}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2} \over 1-q^{n}+q^{2n}}}$ (sucesión A053252 en OEIS).

${\displaystyle \omega (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{2n(n+1)} \over (q;q^{2})_{n+1}^{2}}={1 \over \prod _{n>0}(1-q^{2n})}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{1+q^{2n+1} \over 1-q^{2n+1}}}}$ (sucesión A053253 en OEIS).

${\displaystyle \nu (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)} \over (-q;q^{2})_{n+1}}={1 \over \prod _{n>0}(1-q^{n})}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)/2}{1-q^{2n+1} \over 1+q^{2n+1}}}}$ (sucesión A053254 en OEIS).

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{2n(n+1)} \over \prod _{0\leq i\leq n}(1+q^{2i+1}+q^{4i+2})}={1 \over \prod _{n>0}(1-q^{2n})}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{1-q^{4n+2} \over 1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}$ (sucesión A053255 en OEIS).

Las primeras cuatro forman un grupo con la misma sombra (dependiente de una constante), y también las tres últimas. Más precisamente, las funciones satisfacen las siguientes relaciones (encontradas por Ramanujan y probadas por Watson):

${\displaystyle {\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+4\psi (-q)=\theta _{4}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}(0,q^{3})\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left({\frac {1}{2}}q^{-{\frac {3}{8}}}\theta _{2}(0,q^{\frac {3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\\nu (\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}^{2}\left(0,q^{2}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\\f(q^{8})+q\omega (q)-q\omega (-q)&=\theta _{3}(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}}$

Ramanujan escribió diez funciones theta simuladas de orden 5 en su carta de 1920 a Hardy, y declaró algunas relaciones entre ellas que fueron probadas por Watson (1937). En su cuaderno perdido, declaró algunas identidades adicionales relacionadas con estas funciones, equivalentes a las "conjeturas theta simuladas" (Andrews y Garvan, 1989), que fueron probadas por Hickerson (1988).Andrews (1986) encontró representaciones de muchas de estas funciones como el cociente de una serie theta indefinida respecto a formas modulares de peso 1/2.

${\displaystyle f_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over (-q;q)_{n}}}$ (sucesión A053256 en OEIS)

${\displaystyle f_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}+n} \over (-q;q)_{n}}}$ (sucesión A053257 en OEIS)

${\displaystyle \phi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}$ (sucesión A053258 en OEIS)

${\displaystyle \phi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}$ (sucesión A053259 en OEIS)

${\displaystyle \psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}}$ (sucesión A053260 en OEIS)

${\displaystyle \psi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}}$ (sucesión A053261 en OEIS)

${\displaystyle \chi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n} \over (q^{n+1};q)_{n}}=2F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)}$ (sucesión A053262 en OEIS)

${\displaystyle \chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n} \over (q^{n+1};q)_{n+1}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)}$ (sucesión A053263 en OEIS)

${\displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{2n^{2}} \over (q;q^{2})_{n}}}$ (sucesión A053264 en OEIS)

${\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{2n^{2}+2n} \over (q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A053265 en OEIS)

${\displaystyle \Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{q^{5n^{2}} \over (1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n+1})}}$ (sucesión A053266 en OEIS)

${\displaystyle \Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{q^{5n^{2}} \over (1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n+2})}}$ (sucesión A053267 en OEIS)

Ramanujan (1988) escribió siete funciones theta simuladas de orden 6 en su cuaderno perdido, y declaró 11 identidades entre ellas, que se probaron en Andrews y Hickerson (1991). Dos de las identidades de Ramanujan se relacionan con φ y ψ en varios argumentos, cuatro de ellas expresan φ y ψ en términos de la serie Appell-Lerch, y las últimas cinco identidades expresan las cinco funciones theta simuladas de sexto orden restantes en términos de φ y ψ.Berndt y Chan (2007) descubrió dos funciones más de sexto orden. Las funciones de theta simuladas de orden 6 son:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n} \over (-q;q)_{2n}}}$ (sucesión A053268 en OEIS)

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n} \over (-q;q)_{2n+1}}}$ (sucesión A053269 en OEIS)

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n} \over (q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A053270 en OEIS)

${\displaystyle \sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n} \over (q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A053271 en OEIS)

${\displaystyle \lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n} \over (-q;q)_{n}}}$ (sucesión A053272 en OEIS)

${\displaystyle 2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n} \over (-q;q)_{n+1}}}$ (sucesión A053273 en OEIS)

${\displaystyle \gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(q;q)_{n} \over (q^{3};q^{3})_{n}}}$ (sucesión A053274 en OEIS)

${\displaystyle \phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{q^{n}(-q;q)_{2n-1} \over (q;q^{2})_{n}}}$ (sucesión A153251 en OEIS)

${\displaystyle \psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{q^{n}(-q;q)_{2n-2} \over (q;q^{2})_{n}}}$ (sucesión A153252 en OEIS)

Ramanujan dio tres funciones theta simuladas de orden 7 en su carta de 1920 a Hardy. Fueron estudiados por Selberg (1938), quien encontró una expansión asintótica para sus coeficientes, y (Andrews, 1986).Hickerson (1988) encontró representaciones de muchas de estas funciones como cocientes de series theta indefinidas mediante formas modulares de peso 1/2. () describió sus propiedades de transformación modular.

• ${\displaystyle \displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over (q^{n+1};q)_{n}}}$ (sucesión A053275 en OEIS)
• ${\displaystyle \displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}} \over (q^{n};q)_{n}}}$ (sucesión A053276 en OEIS)
• ${\displaystyle \displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)} \over (q^{n+1};q)_{n+1}}}$ (sucesión A053277 en OEIS)

Estas tres funciones theta simuladas tienen sombras diferentes, por lo que a diferencia del caso de las funciones de orden 3 y orden 5 de Ramanujan, no hay relaciones lineales entre ellas y las formas modulares ordinarias. Las formas de Maass débiles correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}}$

donde

${\displaystyle R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{12 \choose n}\operatorname {sgn}(n)\beta (n^{2}y/6p)q^{-n^{2}/24p}}$

y

${\displaystyle \beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du}$

es más o menos la función de error complementaria.

Bajo el grupo metapléctico, estas tres funciones se transforman de acuerdo con una representación tridimensional determinada del grupo metapléctico de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{j}(-1/\tau )&={\sqrt {\tau /7i}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin(6\pi jk/7)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}}$

En otras palabras, son los componentes de una forma de peso débil de Maass armónica de valor vectorial 1/2.

Gordon y McIntosh (2000) encontró ocho funciones theta simuladas de orden 8. Halló cinco relaciones lineales que las involucraban, y expresó cuatro de las funciones como sumas de Appell-Lerch, y describió sus transformaciones bajo el grupo modular. Las dos funciones V₁ y U₀ habían sido encontradas anteriormente por Ramanujan (1988, p. 8, eqn 1; p. 29 eqn 6) en su cuaderno perdido.

${\displaystyle S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n} \over (-q^{2};q^{2})_{n}}}$ (sucesión A153148 en OEIS)

${\displaystyle S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n} \over (-q^{2};q^{2})_{n}}}$ (sucesión A153149 en OEIS)

${\displaystyle T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n} \over (-q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A153155 en OEIS)

${\displaystyle T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n} \over (-q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A153156 en OEIS)

${\displaystyle U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n} \over (-q^{4};q^{4})_{n}}}$ (sucesión A153172 en OEIS)

${\displaystyle U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n} \over (-q^{2};q^{4})_{n+1}}}$ (sucesión A153174 en OEIS)

${\displaystyle V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n} \over (q;q^{2})_{n}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{q^{2n^{2}}(-q^{2};q^{4})_{n} \over (q;q^{2})_{2n+1}}}$ (sucesión A153176 en OEIS)

${\displaystyle V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n} \over (q;q^{2})_{n+1}}=\sum _{n\geq 0}{q^{2n^{2}+2n+1}(-q^{4};q^{4})_{n} \over (q;q^{2})_{2n+2}}}$ (sucesión A153178 en OEIS)

Ramanujan (1988, p. 9) enumeró cuatro funciones theta simuladas de orden 10 en su cuaderno perdido, y estableció algunas relaciones entre ellas, que fueron probadas por  ().

• ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2} \over (q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A053281 en OEIS)
• ${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2} \over (q;q^{2})_{n+1}}}$ (sucesión A053282 en OEIS)
• ${\displaystyle \mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{n^{2}} \over (-q;q)_{2n}}}$ (sucesión A053283 en OEIS)
• ${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}} \over (-q;q)_{2n+1}}}$ (sucesión A053284 en OEIS)

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• Zwegers, S. P. (2008), Appell–Lerch sums as mock modular forms . (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). (Enlace roto: febrero de 2018)

• Conferencia Internacional: Mock theta funciones y aplicaciones 2009
• Documentos sobre funciones theta simuladas por George Andrews
• Documentos sobre simulacros de funciones theta por Kathrin Bringmann
• Documentos sobre simulaciones de funciones theta por Ken Ono
• Documentos sobre simulaciones de funciones theta por Sander Zwegers
• Weisstein, Eric W. «Mock Theta Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.