Serie de Lambert

Dado que la última suma es una suma típica usada por los teóricos de números, casi cualquier función multiplicativa será exactamente sumable cuando sea usada en una serie de Lambert. Así pues, por ejemplo, se tiene que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

donde ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ es el número de divisores de  n. Para funciones divisor de orden superior, uno tiene que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

donde ${\displaystyle \alpha }$ es cualquier número complejo y

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

es la función divisor.

Las series de Lambert en las cuales a_n son funciones trigonométricas, por ejemplo, a_n = sin(2n x), pueden ser evaluadas mediante varias combinaciones de derivadas logarítmicas de funciones theta de Jacobi.

Entre otras series de Lambert, está la que utiliza la función de Möbius ${\displaystyle \mu (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

Para la función φ de Euler ${\displaystyle \phi (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Para la función de Liouville ${\displaystyle \lambda (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}$

cuya expresión suma de la izquierda es similar a la función theta de Ramanujan.

Sustituyendo ${\displaystyle q=e^{-z}}$ se obtiene otra forma común de expresar esta serie, como

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

donde

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}\,}$

como se ha dicho antes. Ejemplos de series de Lambert de esta forma, con ${\displaystyle z=2\pi }$, aparecen en expresiones de la función zeta de Riemann para valores enteros impares; para más detalles, véase constantes zeta.