Fórmula de Feynman-Kac

Considérese la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}$

definida para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle t\in [0,T]}$ y sujeta a la condición terminal

${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$

donde ${\displaystyle \mu ,\sigma ,\psi ,V,f}$ son funciones conocidas, ${\displaystyle T}$ es un parámetro, y ${\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }$ es la función incógnita. Entonces la fórmula de Feynman-Kac nos dice que la solución se puede escribir como una expectativa condicional

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

bajo la medida de probabilidad ${\displaystyle Q}$ tal que ${\displaystyle X}$ es un proceso de Itô impulsado por la ecuación

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW_{t}^{Q},}$

con ${\displaystyle W^{Q}(t)}$ es un proceso de Wiener (también llamado movimiento browniano) bajo ${\displaystyle Q}$, y la condición inicial para ${\displaystyle X(t)}$ es ${\displaystyle X(t)=x}$.

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Una demostración de que la fórmula anterior es una solución de la ecuación diferencial es larga, difícil y no se presenta aquí. Sin embargo, es razonablemente sencillo demostrar que, "si existe una solución", debe tener la forma anterior. Una demostración de este resultado menor sería la siguiente:

Sea ${\displaystyle u(x,t)}$ la solución a la ecuación diferencial parcial anterior. Aplicación de la regla producto para procesos de Itô al proceso

${\displaystyle Y(s)=\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)\,dr}$

se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&d\left(\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\right)u(X_{s},s)+\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}}$

A partir de:

${\displaystyle d\left(\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\right)=-V(X_{s},s)\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\,ds,}$

el tercer término es ${\displaystyle O(dt\,du)}$ y se puede eliminar. También tenemos que

${\displaystyle d\left(\int _{t}^{s}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)dr\right)=\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{s},s)ds.}$

Aplicando el lema de Itô a ${\displaystyle du(X_{s},s)}$, se deduce que

${\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}}$

El primer término contiene, entre paréntesis, la ecuación diferencial parcial anterior y, por lo tanto, es cero. Lo que queda es

${\displaystyle dY=\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$

Integrando esta ecuación de ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle T}$, se concluye que

${\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}$

Al tomar expectativas, condicionado a <matemáticas>X_{t} = x</matemáticas>, y observar que el lado derecho es un Itô integral, que tiene expectativa cero,^[3] de ello se deduce que

${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).}$

El resultado deseado se obtiene observando que

${\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[\exp(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}\exp(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

y finalmente

${\displaystyle u(x,t)=E\left[\exp(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}\exp(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau )f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}$

• La demostración anterior de que una solución debe tener la forma dada es esencialmente la de^[4] con modificaciones para tener en cuenta ${\displaystyle f(x,t)}$.
• La fórmula de expectativa anterior también es válida para las difusiones Itô N-dimensionales. La ecuación diferencial parcial correspondiente para ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$ se convierte en:^[5] $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$ donde $${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$$ es decir, ${\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}$, donde ${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}$ denota la traspuesta de ${\displaystyle \sigma }$.
• Esta expectativa puede ser aproximada usando el método de Monte Carlo o método cuasi-Monte Carlos.
• Cuando fue publicado originalmente por Kac en 1949,^[6] la fórmula de Feynman-Kac se presentó como una fórmula para determinar la distribución de ciertos funcionales de Wiener. Supongamos que deseamos encontrar el valor esperado de la función $${\displaystyle \exp(-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau )}$$ en el caso donde x(τ) es alguna realización de un proceso de difusión que comienza en x(0) = 0. La fórmula de Feynman-Kac dice que esta expectativa es equivalente a la integral de una solución a una ecuación de difusión. Específicamente, bajo las condiciones que ${\displaystyle uV(x)\geq 0}$, $${\displaystyle E\left[\exp(-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau )\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}$$ donde w(x, 0) = δ(x) y $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.}$$ La fórmula de Feynman-Kac también puede interpretarse como un método para evaluar integrales funcionales de cierta forma. Si $${\displaystyle I=\int f(x(0))\exp(-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt)g(x(t))\,Dx}$$ donde la integral se toma sobre todos paseo aleatorios, entonces $${\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}$$ donde w(x, t) es una solución a la Ecuación parabólica en derivadas parciales $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}$$ con condición inicial w(x, 0) = f(x).