Generalizaciones de los números de Fibonacci

Usando ⁠${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}}$⁠, se puede extender la sucesión de Fibonacci a los números enteros negativos. Así, se obtiene:

... -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

y ⁠${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}$⁠. ^[1]

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Existen varias generalizaciones posibles de los números de Fibonacci que incluyen los números reales (y a veces los números complejos) en su dominio. Cada una de ellas involucra el número áureo φ, y se basa en la sucesión de Fibonacci.

⁠${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}}$⁠.

La función analítica:

${\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

tiene la propiedad de que ${\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}}$ para números enteros ⁠${\displaystyle n}$⁠ pares.^[2] De manera similar, la función analítica:

${\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

satisface ${\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}}$ para números enteros ⁠${\displaystyle n}$⁠ impares.

Finalmente, al combinarlas, la función analítica:

${\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

satisface ${\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}}$ para todos los enteros ⁠${\displaystyle n}$⁠.^[3]

Dado que ${\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)}$ para todos los números complejos ⁠${\displaystyle z}$⁠, esta función también proporciona una extensión de la sucesión de Fibonacci a todo el plano complejo. Por lo tanto, se puede calcular la función de Fibonacci generalizada de una variable compleja, por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i}$

Sin embargo, esta extensión no es única. Por ejemplo, tanto

${\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(kx\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$ como

${\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\exp(ikx\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

para cualquier entero impar k son extensiones de la sucesión de Fibonacci a todo el plano complejo, al igual que cualquier combinación lineal de ellas cuyos coeficientes suman 1.

El término sucesión de Fibonacci también se aplica de forma más general a cualquier función ${\displaystyle g}$ de origen entero sobre el cuerpo para el que ⁠${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$⁠. Estas funciones son precisamente las de la forma ⁠${\displaystyle {1}}$⁠, por lo que las sucesiones de Fibonacci forman un espacio vectorial con las funciones ${\displaystyle F(n)}$ y ${\displaystyle F(n-1)}$ como una base del mencionado espacio.

De forma más general, el rango de ${\displaystyle g}$ puede considerarse como cualquier grupo abeliano (considerado como un módulo-Z). De la misma manera, las sucesiones de Fibonacci forman un módulo Z bidimensional.

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El módulo bidimensional ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de las sucesiones enteras de Fibonacci consta de todas las sucesiones de enteros que satisfacen ⁠${\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}$⁠. Expresado en términos de dos valores iniciales, se tiene que:

${\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},}$

donde ${\displaystyle \varphi }$ es la proporción áurea.

La razón entre dos elementos consecutivos converge y es igual a la proporción áurea, excepto en el caso de la sucesión que es constantemente cero y en las sucesiones donde la razón de los dos primeros términos es ⁠${\displaystyle (-\varphi )^{-1}}$⁠.

La sucesión se puede escribir en la forma:

${\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},}$

en la que ${\displaystyle a=0}$ si y solo si ⁠${\displaystyle b=0}$⁠. En esta forma, el ejemplo no trivial más simple tiene ⁠${\displaystyle a=b=1}$⁠, que es la sucesión de los números de Lucas:

⁠${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}}$⁠.

Cuando ${\displaystyle L_{1}=1}$ y ⁠${\displaystyle L_{2}=3}$⁠, las propiedades incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}$

Cada sucesión de enteros de Fibonacci no trivial aparece (posiblemente tras un desplazamiento de un número finito de posiciones) como una de las filas de la matriz de Wythoff. La sucesión de Fibonacci propiamente dicha es la primera fila, y un desplazamiento de la sucesión de Lucas es la segunda fila.^[4]

Véase también sucesiones de enteros de Fibonacci módulo n.

Una generalización diferente de la sucesión de Fibonacci son las sucesiones de Lucas del tipo definido de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}}$

donde la sucesión de Fibonacci normal es un caso especial de ${\displaystyle P=1}$ y ⁠${\displaystyle Q=-1}$⁠. Otro tipo de sucesión de Lucas comienza con ⁠${\displaystyle V(0)=2}$⁠, ⁠${\displaystyle V(1)=P}$⁠. Dichas sucesiones tienen aplicaciones en la demostración de teoría de números y de primalidad.

Cuando ⁠${\displaystyle Q=-1}$⁠, esta sucesión se denomina sucesión P-Fibonacci; por ejemplo, la sucesión de Pell también se denomina sucesión 2-Fibonacci.

La sucesión 3-Fibonacci es: 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (sucesión A006190 en OEIS)

La sucesión 4-Fibonacci es: 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (sucesión A001076 en OEIS)

La sucesión 5-Fibonacci es: 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (sucesión A052918 en OEIS)

La sucesión 6-Fibonacci es: 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (sucesión A005668 en OEIS)

La constante de n-Fibonacci es la razón hacia la que tienden los números de ${\displaystyle n}$-Fibonacci adyacentes; también se la denomina n-ésimo número metálico, y es la única raíz positiva de ⁠${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$⁠. Por ejemplo, en el caso de que ${\displaystyle n=1}$ es ⁠${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$⁠, es el número áureo; y en el caso de que ${\displaystyle n=2}$ es ⁠${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$⁠, es el número plateado. Generalmente, en el caso de que ${\displaystyle n}$ es ⁠${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$⁠.

Generalmente, ${\displaystyle U(n)}$ se denomina sucesión de Fibonacci (P,−Q) y V(n) se denomina sucesión de Lucas (P,−Q).

La sucesión de Fibonacci (1,2) es:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (sucesión A001045 en OEIS)

La sucesión de Fibonacci (1,3) es:

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... (sucesión A006130 en OEIS)

La sucesión de Fibonacci (2,2) es:

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (sucesión A002605 en OEIS)

La sucesión de Fibonacci (3,3) es:

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (sucesión A030195 en OEIS)

Una sucesión de Fibonacci de orden n es una sucesión de enteros en la que cada elemento es la suma de los ${\displaystyle n}$ elementos anteriores (con la excepción de los primeros ${\displaystyle n}$ términos de la sucesión). Los números de Fibonacci usuales constituyen una sucesión de Fibonacci de orden 2. Los casos ${\displaystyle n=3}$ y ${\displaystyle n=4}$ han sido estudiados exhaustivamente. El número de composiciones de enteros no negativos divididos en partes de como máximo ${\displaystyle n}$ constituye una sucesión de Fibonacci de orden ⁠${\displaystyle n}$⁠. La sucesión del número de cadenas de 0s y 1s de longitud ${\displaystyle m}$ que contienen como máximo ${\displaystyle n}$ ceros consecutivos es también una sucesión de Fibonacci de orden ⁠${\displaystyle n}$⁠.

Estas sucesiones, sus razones límite y el límite de estas razones límite fueron investigadas por Mark Barr en 1913.^[5]: 101

Una variación de la sucesión de Fibonacci es la sucesión de números de tribonacci, donde cada número es la suma de los tres números anteriores. Partiendo de los valores iniciales ${\displaystyle T_{0}=T_{1}=0}$ y ${\displaystyle T_{2}=1}$, la recurrencia

${\displaystyle T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},\qquad \qquad (1)}$

da esta sucesión de números como

${\displaystyle 0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,3136,5768,10609,19513,35890,66012,\ldots .}$

Se pueden encontrar más términos bajo el número de sucesión (sucesión A000073 en OEIS), en la Enciclopedia en Línea de sucesiones de enteros (OEIS).

La sucesión de tribonacci tiene una larga e interesante historia.^[6] La aparición histórica más notable de la sucesión está relacionada con Charles Darwin (1809-1882) y su obra fundamental El origen de las especies, donde la procreación y el crecimiento de la población de los elefantes se consideran un ejemplo ilustrativo.^[7] En 1892, la sucesión de números apareció en la solución de un problema recreativo, relativo a un granjero y la cría de ovejas, planteado por el matemático estadounidense Artemas Martin (1835-1918).^{[8]: 107–108} El primer tratamiento matemático de la sucesión de tribonacci y la investigación de sus propiedades se realizó en 1914 y se debe a Agronomof.^[9] El término tribonacci apareció mucho más tarde, en 1963, y se debe a Mark Feinberg, por entonces un estudiante de secundaria de catorce años, quien lo introdujo en un artículo en la revista Fibonacci Quarterly.^[10]

Identidad de Agronomof. La nota de Agronomof de 1914 es una pequeña joya que pasó desapercibida, no tuvo repercusión en su momento y permaneció olvidada durante más de medio siglo.^{[6]: 709-710} Aunque es una nota muy breve (la réplica moderna cabe fácilmente en una sola página),^[6]: 719 contiene la poderosa identidad:

${\displaystyle T_{n+p}=T_{p+1}T_{n+1}+\left(T_{p}+T_{p-1}\right)T_{n}+T_{p}T_{n-1}.\qquad \qquad (2)}$

Nótese que la identidad de Agronomof es simétrica en ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle p}$, y que, para ${\displaystyle p=2}$, se recupera la recurrencia de tribonacci original. Agronomof realizó su deducción bajo el supuesto de que ambos parámetros ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle p}$ son enteros no negativos. Sin embargo, se puede demostrar que la identidad es más general y que, de hecho, se cumple para enteros arbitrarios ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle p}$ extendiendo la recurrencia definitoria (1) para incluir números de tribonacci con índices negativos.^[6]: 712 Agronomof concluye su nota mostrando las siguientes propiedades notables de los números de tribonacci:

${\displaystyle T_{2n}=T_{n+1}^{2}+2T_{n}T_{n-1}+T_{n}^{2}\quad \mathrm {and} \quad T_{2n-1}=T_{n-1}^{2}+2T_{n}T_{n+1}-T_{n}^{2}.\qquad \qquad (3)}$

Estas se derivan fácilmente de su identidad tomando ${\displaystyle p=n}$ y ${\displaystyle p=n-1}$. A su vez, estas dos identidades pueden utilizarse para obtener una expresión simple para la suma de los cuadrados de los números de Tribonacci.^{[6]: Eqn. (9)}

Fórmula de reflexión. Al igual que con los números de Fibonacci, se puede aplicar la recurrencia a los números de tribonacci en sentido inverso.

A partir de ${\displaystyle T_{2},T_{1}}$ y ${\displaystyle T_{0}}$, se puede determinar ${\displaystyle T_{-1}=1}$.

A partir de ${\displaystyle T_{1},T_{0}}$ y ${\displaystyle T_{-1}}$, se puede determinar ${\displaystyle T_{-2}=-1}$, y así sucesivamente.

Por lo tanto, los valores de los números de tribonacci en índices negativos están bien definidos. Partiendo de ${\displaystyle T_{0}=0}$, ${\displaystyle T_{-1}=1}$ y ${\displaystyle T_{-2}=-1}$, e invirtiendo la recurrencia de tribonacci (1), se obtiene la sucesión de números de tribonacci con índice negativo:

${\displaystyle 0,1,-1,0,2,-3,1,4,-8,5,7,-20,18,9,-47,56,0,-103,159,-56,-206,421,-271,-356,1048,\ldots .}$

Se pueden encontrar términos adicionales bajo el número de sucesión (sucesión A057597 en OEIS) en la Enciclopedia en Línea de Sucesiones de Enteros (OEIS). La extensión a índices negativos implica que la sucesión de tribonacci puede considerarse como una sucesión doblemente infinita:

${\displaystyle \ldots ,-47,9,18,-20,7,5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,\mathbf {0} ,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,\ldots }$

donde el valor en el índice cero se muestra en negrita. Recorriendo la sucesión de izquierda a derecha, se utiliza la recurrencia (1). Recorriendo la sucesión de derecha a izquierda, se utiliza la recurrencia ${\displaystyle T_{n}=T_{n+3}-T_{n+2}-T_{n+1}}$.

La relación entre los segmentos con índice negativo y positivo de la sucesión de tribonacci viene dada por:

${\displaystyle T_{-n}=T_{n+1}^{2}-T_{n}T_{n+2}.\qquad \qquad (4)}$

Esta identidad se cumple para todos los enteros ${\displaystyle n}$ y se conoce como fórmula de reflexión para los números de tribonacci. Se puede obtener utilizando la identidad de Agronomof.^[6]: 714

La constante de tribonacci:

${\displaystyle \rho ={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left({\frac {19}{8}}\right)\right)}{3}}}$

es la razón hacia la que tienden los números de tribonacci adyacentes. Es la única raíz real ${\displaystyle x=\rho }$ del polinomio ⁠${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$⁠, aproximadamente 1,839286755214161 ... (sucesión A058265 en OEIS), y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-3}=2}$⁠. Es importante en el estudio del cubo romo.

El recíproco de la constante de tribonacci es la raíz real ${\displaystyle x=\xi }$ de ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-1=0}$, y se puede escribir como:

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{\rho }}={\frac {-1+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}}{3}}}$

aproximadamente 0,543689012692076 ... (sucesión A192918 en OEIS).

Los números de tribonacci también se dan por^[11]

${\displaystyle T_{n+1}=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }$

donde ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ denota redondeo y

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}$

En correspondencia con los números de Lucas de la sucesión de Fibonacci, si se parte de ${\displaystyle T_{0}=3}$, ${\displaystyle T_{1}=1}$ y ${\displaystyle T_{2}=3}$ y se aplica la recursión de tribonacci, entonces ${\displaystyle T_{n}=\lfloor \rho ^{n}\rceil }$ para ⁠${\displaystyle n\geq 4}$⁠ (sucesión A001644 en OEIS)

Los números de tetranacci comienzan con cuatro términos predeterminados, siendo cada término subsiguiente la suma de los cuatro términos anteriores. Los primeros números de tetranacci son:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, ... (sucesión A000078 en OEIS)

Feinberg también acuñó el término tetranacci.^[10]: 73

La constante de tetranacci es la razón hacia la que tienden los números de tetranacci adyacentes. Es la única raíz real positiva del polinomio ⁠${\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$⁠, aproximadamente 1,927561975482925 ... (sucesión A086088 en OEIS), y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-4}=2}$⁠.

La constante de tetranacci se puede expresar en términos de raíces mediante la siguiente expresión:^[12]

${\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)}$

donde,

${\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}$

y ${\displaystyle u}$ es la raíz real de la ecuación de tercer grado ⁠${\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169}$⁠.

Correspondiente a los números de Lucas de la sucesión de Fibonacci, si se parte de ${\displaystyle T_{0}=4}$, ${\displaystyle T_{1}=1}$, ${\displaystyle T_{2}=3}$ y ${\displaystyle T_{3}=7}$ y se aplica la recursión de tetranacci, entonces ${\displaystyle T_{n}=\lfloor x^{n}\rceil }$ para ⁠${\displaystyle n\geq 6}$⁠ (sucesión A073817 en OEIS)

Se han calculado los números pentanacci, hexanacci, heptanacci, octanacci y enneanacci.

Números de pentanacci

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... (sucesión A001591 en OEIS)

La constante de pentanacci es la razón hacia la cual tienden los números de pentanacci adyacentes.

Es la única raíz real del polinomio ⁠${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$⁠, aproximadamente 1,965948236645485 ... (sucesión A103814 en OEIS), y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-5}=2}$⁠.

Números de hexanacci

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ? (sucesión A001592 en OEIS)

La constante de hexanacci es la razón hacia la que tienden los números de hexanacci adyacentes.

Es la única raíz real positiva del polinomio ⁠${\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$⁠, aproximadamente 1,983582843424326 ... (sucesión A118427 en OEIS), y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-6}=2}$⁠.

Números de heptanacci

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ? (sucesión A122189 en OEIS)

La constante de heptanacci es la razón hacia la cual tienden los números de heptanacci adyacentes.

Es la única raíz real del polinomio ⁠${\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0}$⁠, aproximadamente 1,991964196605035 ... (sucesión A118428 en OEIS), y también satisface la ecuación ⁠${\displaystyle x+x^{-7}=2}$⁠.

Números de octanacci

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... (sucesión A079262 en OEIS)

Números de enneanacci

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... (sucesión A104144 en OEIS)

Una sucesión "infinacci", si se pudiera describir, después de un número infinito de ceros, daría como resultado la sucesión: [..., 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... que son simplemente las potencias de dos.

El límite de la razón de términos sucesivos de una serie de Nacci ${\displaystyle n}$ tiende a una raíz de la ecuación ${\displaystyle x+x^{-n}=2}$ (A103814, A118427, A118428).

El límite de la razón para cualquier ${\displaystyle n\geq 2}$ es la única raíz positiva de la ecuación característica^[12]

⁠${\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0}$⁠.

El caso especial ${\displaystyle n=2}$ es la serie de Fibonacci tradicional que produce la sección áurea ⁠${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}$⁠.

Las fórmulas anteriores para la razón son válidas incluso para series de Nacci ${\displaystyle n}$ generadas a partir de números iniciales arbitrarios. La razón se aproxima a 2 en el límite cuando ${\displaystyle n}$ tiende a infinito.

La raíz ${\displaystyle x}$ está en el intervalo ⁠${\displaystyle 2(1-2^{-n})<x<2}$⁠. La raíz negativa de la ecuación característica está en el intervalo (-1, 0) cuando ${\displaystyle n}$ es par. Esta raíz y cada raíz compleja de la ecuación característica tiene módulo ⁠${\displaystyle 3^{-n}<}$⁠.^[12]

Una serie para la raíz positiva ${\displaystyle x}$ para cualquier ${\displaystyle n>0}$ es:^[12]

⁠${\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}}$⁠.

No existe solución de la ecuación característica en términos de radicales cuando 5 ≤ n ≤ 11.^[12]

El elemento k de la sucesión de Nacci n viene dado por:

${\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {x^{k-1}(x-1)}{(n+1)x-2n}}\right\rceil \!,}$

donde ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ denota la función entera más cercana y ${\displaystyle x}$ es la constante de Nacci ${\displaystyle n}$, que es la raíz de ${\displaystyle x+x^{-n}=2}$ más cercana a 2.

Un problema de lanzamiento de una moneda está relacionado con la sucesión de Nacci ${\displaystyle n}$. La probabilidad de que no se produzcan ${\displaystyle n}$ cruces consecutivas en ${\displaystyle m}$ lanzamientos de una moneda idealizada es ⁠${\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}$⁠.^[13]

En analogía con su contraparte numérica, la palabra de Fibonacci se define por:

${\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle +}$ denota la concatenación de dos cadenas. La sucesión de cadenas de Fibonacci comienza así:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, ... (sucesión A106750 en OEIS)

La longitud de cada cadena de Fibonacci es un número de Fibonacci, y de forma similar, existe una cadena de Fibonacci correspondiente para cada número de Fibonacci.

Las cadenas de Fibonacci aparecen como entradas para el caso pésimo en algunos sistemas de algoritmos informáticos.

Si "a" y "b" representan dos materiales o longitudes de enlace atómico diferentes, la estructura correspondiente a una cadena de Fibonacci es una palabra de Fibonacci, una estructura cuasicristalina aperiódica con propiedades espectrales inusuales.

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Una sucesión de Fibonacci convolucionada se obtiene aplicando una operación de convolución a la sucesión de Fibonacci una o más veces. Específicamente, se definen:^[14]

${\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}}$

y

${\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}$

Las primeras sucesiones son:

${\displaystyle r=1}$: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ? (sucesión A001629 en OEIS).

${\displaystyle r=2}$: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ? (sucesión A001628 en OEIS).

${\displaystyle r=3}$: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ? (sucesión A001872 en OEIS).

Las sucesiones se pueden calcular usando la recurrencia:

${\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}$

La función generatriz de la ${\displaystyle r}$-ésima convolución es:

⁠${\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}}$⁠.

Las sucesiones están relacionadas con la sucesión de los polinomios de Fibonacci mediante la relación:

${\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)}$

donde ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}$ es el ${\displaystyle r}$-ésimo derivada de ⁠${\displaystyle F_{n}(x)}$⁠. De forma equivalente, ${\displaystyle F_{n}^{(r)}}$ es el coeficiente de ${\displaystyle (x-1)^{r}}$ cuando ${\displaystyle F_{x}(x)}$ se expande en potencias de ⁠${\displaystyle (x-1)}$⁠.

La primera convolución, ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$, se puede escribir en términos de los números de Fibonacci y de Lucas como:

${\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}}$

y siguiendo la relación de recurrencia:

⁠${\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}}$⁠.

Se pueden encontrar expresiones similares para ${\displaystyle r>1}$ con una complejidad creciente a medida que ${\displaystyle r}$ aumenta. Los números ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$ son las sumas de las filas del triángulo de Hosoya.

Al igual que con los números de Fibonacci, existen varias interpretaciones combinatorias de estas sucesiones. Por ejemplo, ${\displaystyle F_{n}^{(1)}}$ es el número de maneras en que ${\displaystyle n-2}$ se puede escribir como una suma ordenada que involucre solo 0, 1 y 2, con el 0 usado exactamente una vez. En particular, ${\displaystyle F_{4}^{(1)}=5}$ y 2 se pueden escribir como 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 0 + 1, 1 + 1 + 0, 2 + 0.^[15]