Período de Pisano

Los números de Fibonacci pertenecen a la sucesión entera:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, ... (sucesión A000045 en OEIS)

definidos por la relación de recurrencia:

${\displaystyle F_{0}=0}$

${\displaystyle F_{1}=1}$

${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2}.}$

Para cualquier conjunto de números enteros n, la secuencia de números de Fibonacci F_i expresada según el módulo n es periódica. El periodo de Pisano, denotado ${\displaystyle \pi }$(n), es la longitud del periodo de esta secuencia. Por ejemplo, la secuencia de números de Fibonacci módulo 3 comienza así:

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, ... (sucesión A082115 en OEIS)

Esta secuencia tiene un periodo de 8, por lo que ${\displaystyle \pi }$(3) = 8.

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Con la excepción de ${\displaystyle \pi }$(2) = 3, el período de Pisano ${\displaystyle \pi }$(n) es siempre par.

Esto se deduce al observar que ${\displaystyle \pi }$(n) es igual al orden de la matriz de Fibonacci

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

en el grupo lineal general ${\displaystyle {\text{GL}}_{2}(\mathbb {Z} _{n})}$ de matrices invertibles de orden 2 por 2 en el anillo finito ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ de enteros módulo n. Dado que Q tiene determinante -1, el determinante de Q^{${\displaystyle \pi }$(n)} es (-1)^{${\displaystyle \pi }$(n)}, que es igual a 1 cuando n = 2 o cuando ${\displaystyle \pi }$(n) es par.^[3]

Si m y n son números coprimos, entonces ${\displaystyle \pi }$(mn) es el mínimo común múltiplo de ${\displaystyle \pi }$(m) y ${\displaystyle \pi }$(n). Esto se deduce del teorema chino del resto.

Así, los periodos de Pisano de los números compuestos se pueden calcular observando los periodos de Pisano de sus potencias primas, donde q = p^k, para k ≥ 1.

Si p es primo, ${\displaystyle \pi }$(p^k) divide a p^k–1 ${\displaystyle \pi }$(p). Se desconoce si

${\displaystyle \pi (p^{k})=p^{k-1}\pi (p)}$

para todo primo p y entero k > 1.

Cualquier primo p que proporcione un contraejemplo sería necesariamente un número primo de Wall-Sun-Sun, y a la inversa, todo primo p de Wall-Sun-Sun da un contraejemplo (establecer k = 2).

Para p = 2 y 5, se conocen los valores exactos de los periodos de Pisano. Los periodos de las potencias de estos números primos son los siguientes:

• Si n = 2^k, entonces ${\displaystyle \pi (n)=3\cdot 2^{k-1}={\frac {3n}{2}}}$
• Si n = 5^k, entonces ${\displaystyle \pi (n)=4\cdot 5^{k}=4n}$

De esto se deduce que si n = 2 · 5^k, entonces ${\displaystyle \pi }$(n) = 6n.

Si el primo p es distinto de 2 y de 5, entonces ${\displaystyle \pi }$(p) es un divisor de p² - 1. Esto se deduce del análogo módulo p de la fórmula de Binet, lo que implica que ${\displaystyle \pi }$(p) es el orden multiplicativo de una raíz de x² − x − 1 módulo p.

Todo p distinto de 2 y de 5 pertenece a las clases de residuos ${\displaystyle p\equiv \pm 1\ (\mathrm {mod} \ 10)}$ o ${\displaystyle p\equiv \pm 3\ (\mathrm {mod} \ 10)}$.

• Si ${\displaystyle p\equiv \pm 1\ (\mathrm {mod} \ 10)}$, entonces ${\displaystyle \pi }$(p) divide a p - 1.
• Si ${\displaystyle p\equiv \pm 3\ (\mathrm {mod} \ 10)}$, entonces ${\displaystyle \pi }$(p) divide a 2p + 1.

Lo anterior se puede demostrar observando que si ${\displaystyle p\equiv \pm 1\ (\mathrm {mod} \ 10)}$, entonces las raíces de x² − x − 1 módulo p pertenecen a ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ (por la ley de reciprocidad cuadrática). Así, su orden, ${\displaystyle \pi }$(p), es un divisor de p - 1.

Para demostrar esto último, si ${\displaystyle p\equiv \pm 3\ (\mathrm {mod} \ 10),}$ las raíces módulo p de x² − x − 1 no pertenecen a ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (de nuevo por reciprocidad cuadrática), y pertenecen al cuerpo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(x^{2}-x-1).}$. Como el endomorfismo de Frobenius ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ intercambia estas raíces, se deduce que, denotándolas por r y s, se tiene que r^p = s, y por lo tanto r^p+1 = -1. Es decir, r^2(p+1) = 1, y el período de Pisano, que es el orden de r, es el cociente de 2(p + 1) por un divisor impar.

De los resultados anteriores se deduce que si n = p^k es una potencia prima impar tal que ${\displaystyle \pi }$(n) > n, entonces ${\displaystyle \pi }$(n)/4 es un entero menor o igual que n. La propiedad multiplicativa de los periodos de Pisano implica, por lo tanto, que:

${\displaystyle \pi }$(n) ≤ 6n, con igualdad si y solo si n = 2·5^r, para r ≥ 1.^[4]

Si n no es de la forma 2·5^r, entonces ${\displaystyle \pi }$(n) ≤ 4n.

Los primeros doce periodos de Pisano (sucesión A001175 en OEIS) y sus ciclos (con espacios antes de los ceros para facilitar la lectura) son^[5] (usando las letras X y E para representar las cifras diez y once, respectivamente):

n	π(n)	Número de ceros en el ciclo (sucesión A001176 en OEIS)	Ciclo (sucesión A161553 en OEIS)	Sucesión OEIS del ciclo
1	1	1	0	(sucesión A000004 en OEIS)
2	3	1	011	(sucesión A011655 en OEIS)
3	8	2	0112 0221	(sucesión A082115 en OEIS)
4	6	1	011231	(sucesión A079343 en OEIS)
5	20	4	01123 03314 04432 02241	(sucesión A082116 en OEIS)
6	24	2	011235213415 055431453251	(sucesión A082117 en OEIS)
7	16	2	01123516 06654261	(sucesión A105870 en OEIS)
8	12	2	011235 055271	(sucesión A079344 en OEIS)
9	24	2	011235843718 088764156281	(sucesión A007887 en OEIS)
10	60	4	011235831459437 077415617853819 099875279651673 033695493257291	(sucesión A003893 en OEIS)
11	10	1	01123582X1	(sucesión A105955 en OEIS)
12	24	2	011235819X75 055X314592E1	(sucesión A089911 en OEIS)

Los primeros 144 periodos de Pisano se muestran en la siguiente tabla:

π(n)	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12
0+	1	3	8	6	20	24	16	12	24	60	10	24
12+	28	48	40	24	36	24	18	60	16	30	48	24
24+	100	84	72	48	14	120	30	48	40	36	80	24
36+	76	18	56	60	40	48	88	30	120	48	32	24
48+	112	300	72	84	108	72	20	48	72	42	58	120
60+	60	30	48	96	140	120	136	36	48	240	70	24
72+	148	228	200	18	80	168	78	120	216	120	168	48
84+	180	264	56	60	44	120	112	48	120	96	180	48
96+	196	336	120	300	50	72	208	84	80	108	72	72
108+	108	60	152	48	76	72	240	42	168	174	144	120
120+	110	60	40	30	500	48	256	192	88	420	130	120
132+	144	408	360	36	276	48	46	240	32	210	140	24

Si n = F(2k) (k ≥ 2), entonces p(n) = 4k; si n = F(2k+ 1) (k ≥ 2), entonces p(n) = 8k+ 4. Es decir, si la base del módulo es un número de Fibonacci (≥ 3) con índice par, el período es el doble del índice y el ciclo tiene dos ceros. Si la base es un número de Fibonacci (≥ 5) con índice impar, el período es cuatro veces el índice y el ciclo tiene cuatro ceros.

k	F(k)	π(F(k))	Primera mitad del ciclo (para k par ≥ 4) o primer cuarto del ciclo (para k impar ≥ 4) o todo el ciclo (para k ≤ 3) (con segundas mitades o segundos cuartos seleccionados)
1	1	1	0
2	1	1	0
3	2	3	0, 1, 1
4	3	8	0, 1, 1, 2, (0, 2, 2, 1)
5	5	20	0, 1, 1, 2, 3, (0, 3, 3, 1, 4)
6	8	12	0, 1, 1, 2, 3, 5, (0, 5, 5, 2, 7, 1)
7	13	28	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, (0, 8, 8, 3, 11, 1, 12)
8	21	16	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (0, 13, 13, 5, 18, 2, 20, 1)
9	34	36	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (0, 21, 21, 8, 29, 3, 32, 1, 33)
10	55	20	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (0, 34, 34, 13, 47, 5, 52, 2, 54, 1)
11	89	44	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (0, 55, 55, 21, 76, 8, 84, 3, 87, 1, 88)
12	144	24	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, (0, 89, 89, 34, 123, 13, 136, 5, 141, 2, 143, 1)
13	233	52	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
14	377	28	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
15	610	60	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
16	987	32	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
17	1597	68	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
18	2584	36	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
19	4181	76	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584
20	6765	40	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181
21	10946	84	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
22	17711	44	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
23	28657	92	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711
24	46368	48	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657

Si n = L(2k) (k ≥ 1), entonces p(n) = 8k; si n = L(2k+1) (k ≥ 1), entonces p(n) = 4k + 2. Es decir, si la base del módulo es un número de Lucas (≥ 3) con índice par, el período es cuatro veces el índice. Si la base es un número de Lucas (≥ 4) con índice impar, el período es el doble del índice.

k	L(k)	π(L(k))	Primera mitad del ciclo (para k impar ≥ 2) o primer cuarto del ciclo (para k par ≥ 2) o todo el ciclo (para k= 1) (con segundas mitades o segundos cuartos seleccionados)
1	1	1	0
2	3	8	0, 1, (1, 2)
3	4	6	0, 1, 1, (2, 3, 1)
4	7	16	0, 1, 1, 2, (3, 5, 1, 6)
5	11	10	0, 1, 1, 2, 3, (5, 8, 2, 10, 1)
6	18	24	0, 1, 1, 2, 3, 5, (8, 13, 3, 16, 1, 17)
7	29	14	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, (13, 21, 5, 26, 2, 28, 1)
8	47	32	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, (21, 34, 8, 42, 3, 45, 1, 46)
9	76	18	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (34, 55, 13, 68, 5, 73, 2, 75, 1)
10	123	40	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (55, 89, 21, 110, 8, 118, 3, 121, 1, 122)
11	199	22	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, (89, 144, 34, 178, 13, 191, 5, 196, 2, 198, 1)
12	322	48	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, (144, 233, 55, 288, 21, 309, 8, 317, 3, 320, 1, 321)
13	521	26	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
14	843	56	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
15	1364	30	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
16	2207	64	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
17	3571	34	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
18	5778	72	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
19	9349	38	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584
20	15127	80	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181
21	24476	42	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
22	39603	88	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
23	64079	46	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711
24	103682	96	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657

Para un valor par de k, el ciclo tiene dos ceros. Para un valor impar de k, el ciclo tiene solo un cero, y la segunda mitad del ciclo, que por supuesto es igual a la parte a la izquierda de 0, consiste en números alternados F(2m+1) y n-F(2m), con m decreciente.

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El número de apariciones de 0 por ciclo es 1, 2 o 4. Sea p el número que sigue al primer 0 después de la combinación 0, 1. Sea q la distancia entre los ceros.

• Obviamente, hay un 0 en un ciclo si p = 1. Esto solo es posible si q es par o si n es 1 o 2.
• En caso contrario, hay dos 0 en un ciclo si p = ² = 1. Esto solo es posible si q es par.
• En caso contrario, hay cuatro 0 en un ciclo. Esto ocurre si q es impar y n no es 1 ni 2.

Para las secuencias de Fibonacci generalizadas (que satisfacen la misma relación de recurrencia, pero con otros valores iniciales, como los números de Lucas), el número de ocurrencias de 0 por ciclo es 0, 1, 2 o 4.

La razón entre el período de Pisano de n y el número de ceros módulo n en el ciclo da el rango de aparición o punto de entrada de Fibonacci de n. Es decir, el índice k más pequeño tal que n divide a F(k). Estos son:

1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8, 30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20, 24, 44, 30, 60, 24, 16, 12, ... (sucesión A001177 en OEIS)

En el artículo de Renault, el número de ceros se denomina "orden" de F mod m, denotado ${\displaystyle \omega (m)}$, y el "rango de aparición" se denomina simplemente "rango" y se denota por ${\displaystyle \alpha (m)}$.^[6]

Según la conjetura de Wall, ${\displaystyle \alpha (p^{e})=p^{e-1}\alpha (p)}$. Si ${\displaystyle m}$ tiene factorización de enteros ${\displaystyle m=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{n}^{e_{n}}}$, entonces ${\displaystyle \alpha (m)=\operatorname {lcm} (\alpha (p_{1}^{e_{1}}),\alpha (p_{2}^{e_{2}}),\dots ,\alpha (p_{n}^{e_{n}}))}$.^[6]

Los períodos de Pisano de los números de Lucas son:

1, 3, 8, 6, 4, 24, 16, 12, 24, 12, 10, 24, 28, 48, 8, 24, 36, 24, 18, 12, 16, 30, 48, 24, 20, 84, 72, 48, 14, 24, 30, 48, 40, 36, 16, 24, 76, 18, 56, 12, 40, 48, 88, 30, 24, 48, 32, ... (sucesión A106291 en OEIS)

Los períodos de Pisano de los números de Pell (o números de Fibonacci de orden 2) son:

1, 2, 8, 4, 12, 8, 6, 8, 24, 12, 24, 8, 28, 6, 24, 16, 16, 24, 40, 12, 24, 24, 22, 8, 60, 28, 72, 12, 20, 24, 30, 32, 24, 16, 12, 24, 76, 40, 56, 24, 10, 24, 88, 24, 24, 22, 46, 16, ... (sucesión A175181 en OEIS)

Los períodos de Pisano de los números de Fibonacci de orden 3 son:

1, 3, 2, 6, 12, 6, 16, 12, 6, 12, 8, 6, 52, 48, 12, 24, 16, 6, 40, 12, 16, 24, 22, 12, 60, 156, 18, 48, 28, 12, 64, 48, 8, 48, 48, 6, 76, 120, 52, 12, 28, 48, 42, 24, 12, 66, 96, 24, ... (sucesión A175182 en OEIS)

Los períodos de Pisano de los números de Jacobsthal (o números de Fibonacci (1,2)) son:

1, 1, 6, 2, 4, 6, 6, 2, 18, 4, 10, 6, 12, 6, 12, 2, 8, 18, 18, 4, 6, 10, 22, 6, 20, 12, 54, 6, 28, 12, 10, 2, 30, 8, 12, 18, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 36, 22, 46, 6, ... (sucesión A175286 en OEIS)

Los períodos de Pisano de los números de Fibonacci (1,3) son:

1, 3, 1, 6, 24, 3, 24, 6, 3, 24, 120, 6, 156, 24, 24, 12, 16, 3, 90, 24, 24, 120, 22, 6, 120, 156, 9, 24, 28, 24, 240, 24, 120, 48, 24, 6, 171, 90, 156, 24, 336, 24, 42, 120, 24, 66, 736, 12, ... (sucesión A175291 en OEIS)

Los períodos de Pisano de números de trobonacci (o números de Fibonacci de 3 pasos) son:

1, 4, 13, 8, 31, 52, 48, 16, 39, 124, 110, 104, 168, 48, 403, 32, 96, 156, 360, 248, 624, 220, 553, 208, 155, 168, 117, 48, 140, 1612, 331, 64, 1430, 96, 1488, 312, 469, 360, 2184, 496, 560, 624, 308, 440, 1209, 2212, 46, 416, ... (sucesión A046738 en OEIS)

Los períodos de Pisano de los números de tetranacci (o números de Fibonacci de 4 pasos) son:

1, 5, 26, 10, 312, 130, 342, 20, 78, 1560, 120, 130, 84, 1710, 312, 40, 4912, 390, 6858, 1560, 4446, 120, 12166, 260, 1560, 420, 234, 1710, 280, 1560, 61568, 80, 1560, 24560, 17784, 390, 1368, 34290, 1092, 1560, 240, 22230, 162800, 120, 312, 60830, 103822, 520, ... (sucesión A106295 en OEIS)

Véase también generalizaciones de los números de Fibonacci.

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Los periodos de Pisano pueden analizarse utilizando la teoría de números algebraica.

Sea ${\displaystyle \pi _{k}(n)}$ el n-ésimo período de Pisano de la k-secuencia de Fibonacci F_k(n) (k puede ser cualquier número natural, estas secuencias se definen como F_k(0) = 0, F_k(1) = 1, y para cualquier número natural n > 1, F_k(n) = kF_k(n-1) + F_k(n-2)). Si m y n son números coprimos, entonces ${\displaystyle \pi _{k}(m\cdot n)=\mathrm {lcm} (\pi _{k}(m),\pi _{k}(n))}$, por el teorema chino del resto: dos números son congruentes módulo mn si y solo si son congruentes módulo m y módulo n, suponiendo que estos últimos son coprimos. Por ejemplo, ${\displaystyle \pi _{1}(3)=8}$ y ${\displaystyle \pi _{1}(4)=6,}$, por lo que ${\displaystyle \pi _{1}(12=3\cdot 4)=\mathrm {lcm} (\pi _{1}(3),\pi _{1}(4))=\mathrm {lcm} (8,6)=24.}$. Así, basta con calcular los periodos de Pisano para sus potencias primas ${\displaystyle q=p^{n}.}$ Normalmente, ${\displaystyle \pi _{k}(p^{n})=p^{n-1}\cdot \pi _{k}(p)}$, a menos que p sea k-número primo de Wall-Sun-Sun o un primo de Fibonacci-Wieferich de k-ésimo orden, es decir, p² divide a F_k(p-1) o a F_k(p+1), donde F_k es la secuencia de Fibonacci de k-ésimo orden. Por ejemplo, 241 es un primo de 3-Wall-Sun-Sun, ya que 241² divide a F₃(242).

Para los números primos p, estos se pueden analizar usando la fórmula de Binet:

${\displaystyle F_{k}\left(n\right)={{\varphi _{k}^{n}-(k-\varphi _{k})^{n}} \over {\sqrt {k^{2}+4}}}={{\varphi _{k}^{n}-(-1/\varphi _{k})^{n}} \over {\sqrt {k^{2}+4}}},\,}$ donde ${\displaystyle \varphi _{k}}$ es el k-ésimo número metálico

${\displaystyle \varphi _{k}={\frac {k+{\sqrt {k^{2}+4}}}{2}}.}$

Si k² + 4 es un residuo cuadrático módulo p (donde p > 2 y p no divide a k² + 4), entonces ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}+4}},1/2,}$ y ${\displaystyle k/{\sqrt {k^{2}+4}}}$ pueden expresarse como enteros módulo p, y por lo tanto la fórmula de Binet puede expresarse sobre enteros módulo p, y así el período de Pisano divide al totiente ${\displaystyle \phi (p)=p-1}$, ya que cualquier potencia (como ${\displaystyle \varphi _{k}^{n}}$) tiene un período que divide a ${\displaystyle \phi (p),}$ puesto que este es el orden del grupo de unidades módulo p.

Para k = 1, esto ocurre primero para p = 11, donde 4² = 16 = 5 (mod 11) y 2 · 6 = 12 = 1 (mod 11) y 4 · 3 = 12 = 1 (mod 11) por lo que 4 = √5, 6 = 1/2 y 1/√5 = 3, lo que produce φ = (1 + 4) · 6 = 30 = 8 (mod 11) y la congruencia

${\displaystyle F_{1}\left(n\right)\equiv 3\cdot \left(8^{n}-4^{n}\right){\pmod {11}}.}$

Otro ejemplo, que muestra que el período puede dividir propiamente a p - 1, es p₁(29) = 14.

Si k² + 4 no es un residuo cuadrático módulo p, entonces la fórmula de Binet se define sobre el cuerpo de extensión cuadrática ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)[{\sqrt {k^{2}+4}}]}$, que tiene p² elementos y cuyo grupo de unidades tiene, por lo tanto, orden p² &-1, y así el período de Pisano divide a p² &-1. Por ejemplo, para p = 3 se tiene que &pi₁(3) = 8, que es igual a 3² &-1 = 8; para p = 7, se tiene que π₁(7) = 16, que divide propiamente a 7² − 1 = 48.

Este análisis falla para p = 2 y p es divisor de la parte libre de cuadrados de k² + 4, ya que en estos casos se trata de divisores de cero, por lo que hay que tener cuidado al interpretar 1/2 o ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}+4}}}$. Para p = 2, k² + 4 es congruente con 1 mod 2 (para k impar), pero el período de Pisano no es p- 1 = 1, sino 3 (de hecho, también es 3 para k par). Como p divide la parte libre de cuadrados de k² + 4, el período de Pisano es \&pi_k(k² + 4) = p² - p = p(p- 1), que no divide a p- 1 ni a p² - 1.

Se pueden considerar sucesiones de números enteros de Fibonacci y calcular su módulo n, o dicho de otro modo, considerar sucesiones de Fibonacci en el anillo Z/nZ. El período es un divisor de ${\displaystyle \pi }$(n). El número de apariciones de 0 por ciclo es 0, 1, 2 o 4. Si n no es primo, los ciclos incluyen aquellos que son múltiplos de los ciclos de los divisores. Por ejemplo, para n = 10, los ciclos adicionales incluyen los correspondientes a n = 2 multiplicado por 5, y a n = 5 multiplicado por 2.

Tabla de los ciclos adicionales: (se excluyen los ciclos de Fibonacci originales) (usando las letras X y E para representar las cifras diez y once, respectivamente)

n	Múltiplos	Otros ciclos	Número de ciclos (incluyendo los ciclos originales de Fibonacci)
1			1
2	0		2
3	0		2
4	0, 022	033213	4
5	0	1342	3
6	0, 0224 0442, 033		4
7	0	02246325 05531452, 03362134 04415643	4
8	0, 022462, 044, 066426	033617 077653, 134732574372, 145167541563	8
9	0, 0336 0663	022461786527 077538213472, 044832573145 055167426854	5
10	0, 02246 06628 08864 04482, 055, 2684	134718976392	6
11	0	02246X5492, 0336942683, 044819X874, 055X437X65, 0661784156, 0773X21347, 0885279538, 0997516729, 0XX986391X, 14593, 18964X3257, 28X76	14
12	0, 02246X42682X 0XX8628X64X2, 033693, 0448 0884, 066, 099639	07729E873X1E 0EEX974E3257, 1347E65E437X538E761783E2, 156E5491XE98516718952794	10

Número de ciclos enteros de Fibonacci módulo n:

1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 8, 5, 6, 14, 10, 7, 8, 12, 16, 9, 16, 22, 16, 29, 28, 12, 30, 13, 14, 14, 22, 63, 24, 34, 32, 39, 34, 30, 58, 19, 86 32, 52, 43, 58, 22, 78, 39, 46, 70, 102, ... (sucesión A015134 en OEIS)