Geometría birracional
campo de la geometría algebraica que busca determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas excepto en subconjuntos de menor dimensión
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En matemáticas, la geometría birracional es un campo de la geometría algebraica cuyo objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas salvo en subconjuntos de menor dimensión. Esto equivale a estudiar aplicaciones definidas mediante funciones racionales en lugar de polinomios. La aplicación puede no estar definida allí donde las funciones racionales tienen polos.
Aplicaciones birracionales
Aplicaciones racionales
Una aplicación racional de una variedad (que se entiende como irreducible) a otra variedad , representada mediante una flecha discontinua X ⇢Y, se define como un morfismo desde un subconjunto abierto no vacío hacia . Por definición de la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacío es siempre denso en . De hecho, es el complemento de un subconjunto de menor dimensión. Concretamente, una aplicación racional puede expresarse en coordenadas utilizando funciones racionales.
Aplicaciones birracionales
Una aplicación birracional de X a Y es una aplicación racional f : X ⇢ Y tal que existe una aplicación racional Y ⇢ X inversa a f. Induce un isomorfismo entre un subconjunto abierto no vacío de X y un subconjunto abierto no vacío de Y, y viceversa: un isomorfismo entre subconjuntos abiertos no vacíos de X e Y define, por tanto, una aplicación birracional f : X ⇢ Y. En este caso, se dice que X e Y son birracionales o birracionalmente equivalentes. En términos algebraicos, dos variedades sobre un cuerpo k son birracionales si y solo si sus cuerpos de funciones son isomorfos como extensiones de cuerpo de k.
Un caso especial es un morfismo birracional f : X → Y, es decir, un morfismo que es birracional. Esto significa que f está definido en todas partes, pero su inversa podría no estarlo. Típicamente, esto sucede porque un morfismo birracional contrae algunas subvariedades de X en puntos de Y.
Equivalencia birracional y racionalidad
Se dice que una variedad X es racional si es birracional a un espacio afín (o equivalentemente, a un espacio proyectivo) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos un cierto subconjunto de dimensión inferior puede identificarse con el espacio afín menos un cierto subconjunto de dimensión inferior.
Equivalencia birracional de una cónica plana
Por ejemplo, la circunferencia con ecuación en el plano afín es una curva racional, ya que existe una aplicación racional f : ⇢ X dada por
que tiene una inversa racional g: X ⇢ dada por
Efectuar la aplicación de f con t como un número racional proporciona una construcción sistemática de ternas pitagóricas.
La aplicación racional no está definida en el lugar geométrico donde . Así, en la recta afín compleja , es un morfismo en el subconjunto abierto , . Del mismo modo, la aplicación racional g : X ⇢ no está definida en el punto (0,−1) de .
Equivalencia birracional de cuádricas lisas y Pn
En términos más generales, una hipersuperficie lisa X cuádrica de grado 2 y dimensión arbitraria n es racional, según una proyección estereográfica. Si X es una cuádrica sobre un cuerpo k, debe suponerse que X posee un punto k racional; lo que se cumple automáticamente si k es algebraicamente cerrado. Para definir la proyección estereográfica, sea p un punto de X. Entonces, se obtiene una aplicación birracional de X al espacio proyectivo de rectas que pasan por p asociando a cada punto q de X la recta que pasa por p y q. Se trata de una equivalencia birracional, pero no de un isomorfismo de variedades, ya que la aplicación no está definida en q= p (y la aplicación inversa no está definida en aquellas rectas que pasan por p y están contenidas en X).
Equivalencia birracional de una superficie cuádrica
El embebido de Segre proporciona una inmersión dada por
![{\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375395e20d9ffe5658e7a8c4156823c3a4e04ce8)
La imagen es la superficie cuádrica en . Esto ofrece otra demostración de que dicha superficie cuádrica es racional, dado que es obviamente racional al poseer un subconjunto abierto isomorfo a .
Modelos minimales y resolución de singularidades
Toda variedad algebraica es birracional a una variedad proyectiva (según el lema de Chow). Por tanto, a efectos de la clasificación birracional, basta con trabajar únicamente con variedades proyectivas, siendo este, por lo general, el marco más conveniente.
Mucho más profundo es el teorema de Hironaka de 1964 sobre la resolución de singularidades: sobre un cuerpo de característica 0 (como el de los números complejos), toda variedad es birracional a una variedad proyectiva suave. En consecuencia, basta con clasificar las variedades proyectivas suaves salvo equivalencia birracional.
En dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son birracionales, entonces son isomorfas. Sin embargo, esto falla en dimensión 2 o superior debido a la construcción de explosión. Mediante la operación de explosión, toda variedad proyectiva suave de dimensión 2 o superior es birracional a infinitas variedades más grandes, por ejemplo, con números de Betti mayores.
Esto conduce a la idea de modelos minimales: ¿existe una variedad más simple única en cada clase de equivalencia birracional? La definición moderna establece que una variedad proyectiva X es minimal si el haz de rectas canónico KX tiene grado no negativo sobre cualquier curva en X. En otras palabras, KX es un haz de rectas numéricamente efectivo (nef). Es fácil comprobar que las variedades obtenidas por *explosión* nunca son minimales.
Esta noción funciona perfectamente para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, un resultado central de la escuela italiana de geometría algebraica de 1890–1910, parte de la clasificación de superficies, es que toda superficie X es birracionalmente equivalente o bien a un producto para alguna curva C, o bien a una superficie minimal Y.[1] Los dos casos son mutuamente excluyentes, e Y es única si existe. Cuando Y existe, se le denomina modelo minimal de X.
Invariantes birracionales
En un principio, no está claro cómo demostrar que existen variedades algebraicas que no sean racionales. Para probar esto, se requieren algunos invariantes birracionales de las variedades algebraicas. Un invariante birracional es cualquier tipo de número, anillo, etc., que sea igual, o isomorfo, para todas las variedades que son birracionalmente equivalentes.
Plurigéneros
Un conjunto útil de invariantes birracionales son los plurigéneros. El haz canónico de una variedad lisa X de dimensión n se refiere al haz de rectas de las n-formas KX= Ωn, que es el n-ésimo producto exterior del fibrado cotangente de X. Para un entero d, la d-ésima potencia tensorial de KX es, a su vez, un haz de rectas. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales H0(X, KXd) posee la notable propiedad de que una aplicación birracional f : X ⇢ Y entre variedades proyectivas suaves induce un isomorfismo H0(X, KXd) ≅ H0(Y, KYd).[2]
Para d ≥ 0, se define el d-ésimo plurigénero Pd como la dimensión del espacio vectorial H0(X, KXd); así, los plurigéneros son invariantes birracionales para variedades proyectivas suaves. En particular, si algún plurigénero Pd con d > 0 es distinto de cero, entonces X no es racional.
Dimensión de Kodaira
Un invariante birracional fundamental es la dimensión de Kodaira, que mide el crecimiento de los plurigéneros Pd a medida que d tiende a infinito. La dimensión de Kodaira clasifica todas las variedades de dimensión n en n + 2 tipos, con dimensión de Kodaira −∞, 0, 1, ..., o n. Esta es una medida de la complejidad de una variedad, y por ejemplo el espacio proyectivo tiene dimensión de Kodaira −∞. Las variedades más complejas son aquellas cuya dimensión de Kodaira es igual a su dimensión n, denominadas variedades de tipo general.
Sumas de ⊗kΩ1 y algunos números de Hodge
De manera más general, para cualquier suma natural
de la r-ésima potencia tensorial del paquete cotangente Ω1 con r ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales H0(X, E(Ω1)) es un invariante birracional para variedades proyectivas suaves. En particular, los números de Hodge
son invariantes birracionales de X. La mayoría de los demás números de Hodge hp,q no son invariantes birracionales, como se muestra al explotarlos.
Grupo fundamental de variedades proyectivas suaves
El grupo fundamental π1(X) es un invariante birracional para variedades proyectivas complejas suaves.
El "teorema de factorización débil", demostrado por Abramovich, Karu, Matsuki y Włodarczyk en 2002, dice que cualquier aplicación birracional entre dos variedades proyectivas complejas suaves se puede descomponer en un número finito de ampliaciones o degradaciones de subvariedades suaves. Es importante saber esto, pero aún puede resultar muy difícil determinar si dos variedades proyectivas suaves son birracionales.
Modelos minimales en dimensiones superiores
Una variedad proyectiva X se llama mínimal si el haz canónico KX es numéricamente efectivo (nef). Para X de dimensión 2, basta con considerar variedades suaves en esta definición. En dimensiones al menos 3, se debe permitir que las variedades mínimas tengan ciertas singularidades leves, para las cuales KX todavía se comporta bien; que se denominan singularidades terminales.
Dicho esto, la conjetura del modelo minimal implicaría que cada variedad X está cubierta por curvas algebraicas o es birracional a una variedad mínima Y. Cuando existe, Y se denomina modelo mínimo de X.
Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones de al menos 3, pero dos variedades mínimas cualesquiera que sean birracionales están muy cerca. Por ejemplo, son isomorfos fuera de los subconjuntos de codimensión al menos 2 y, más precisamente, están relacionados por una secuencia de reflexiones. Por lo tanto, la conjetura del modelo mínimo proporcionaría información sólida sobre la clasificación birracional de variedades algebraicas.
La conjetura fue demostrada en la dimensión 3 por Mori.[3] Ha habido grandes avances en dimensiones superiores, aunque el problema general sigue abierto. En particular, Birkar, Cascini, Hacon y McKernan en 2010[4] demostraron que cada variedad de tipo general sobre un campo de característica cero tiene un modelo mínimo.
Variedades unirregladas
Una variedad se llama unirreglada si está recubierta por curvas racionales. Una variedad unirreglada no tiene un modelo mínimo, pero hay un buen sustituto: Birkar, Cascini, Hacon y McKernan demostraron que toda variedad unirreglada sobre un campo de característica cero es birracional con respecto al espacio fibrado de Fano.[5] Esto conduce al problema de la clasificación birracional de los espacios de fibras de Fano y (como caso especial más interesante) de las variedades de Fano. Por definición, una variedad proyectiva X es de Fano si el fibrado anticanónico es amplio. Las variedades de Fano pueden considerarse las variedades algebraicas más similares al espacio proyectivo.
En la dimensión 2, cada variedad Fano (conocida como superficie de Del Pezzo) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es racional. Un descubrimiento importante en la década de 1970 fue que, a partir de la dimensión 3, hay muchas variedades de Fano que no son racionales. En particular, los 3 pliegues cúbicos suaves no son racionales según Clemens–Griffiths (1972), y los 3 pliegues cuárticos suaves no son racionales según Iskovskikh–Manin (1971). Sin embargo, el problema de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de estar resuelto. Por ejemplo, no se sabe si hay alguna hipersuperficie cúbica suave en con n ≥ 4 que no sea racional.
Grupos de automorfismos birracionales
Las variedades algebraicas difieren enormemente en cuanto al número de automorfismos birracionales que poseen. Toda variedad de tipo general es extremadamente rígida, en el sentido de que su grupo de automorfismos birracionales es finito. En el otro extremo, el grupo de automorfismos birracionales del espacio proyectivo sobre un cuerpo k, conocido como el grupo de Cremona Crn(k), es grande (en cierto sentido, de dimensión infinita) para n ≥ 2. Para n= 2, el grupo de Cremona complejo está generado por la "transformación cuadrática"
- [x,y,z] ↦ [1/x, 1/y, 1/z]
junto con el grupo de automorfismos de de acuerdo con Max Noether y Castelnuovo. Por el contrario, el grupo de Cremona en dimensiones n ≥ 3 sigue siendo un gran misterio: no se conoce ningún conjunto explícito de generadores.
Iskovskikh–Manin (1971) demostraron que el grupo de automorfismos birracionales de una variedad tridimensional cuártica lisa es igual a su grupo de automorfismos, que es finito. En este sentido, las variedades tridimensionales cuárticas distan mucho de ser racionales, dado que el grupo de automorfismos birracionales de una variedad racional es enorme. Este fenómeno de "rigidez birracional" se ha descubierto posteriormente en muchos otros espacios fibrados de Fano.
Aplicaciones
La geometría birracional ha encontrado aplicaciones en otras áreas de la geometría, pero especialmente en problemas tradicionales de la geometría algebraica.
Cabe destacar que el programa de modelos minimales se utilizó para construir espacios de móduloss de variedades de tipo general por parte de János Kollár y de Nicholas Shepherd-Barron, conocidos actualmente como espacios de módulos KSB.[6]
La geometría birracional ha encontrado recientemente aplicaciones importantes en el estudio de K-estabilidad de las variedades de Fano mediante resultados generales de existencia para la métrica de Kähler-Einstein, en el desarrollo de invariantes explícitos de variedades de Fano para verificar la K-estabilidad calculando sobre modelos birracionales, y en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano.[7] Resultados importantes en geometría birracional, como la demostración de Birkar sobre la acotación de las variedades de Fano, se han utilizado para probar resultados de existencia para espacios de módulos.
