Escuela italiana de geometría algebraica

El énfasis en las superficies algebraicas (variedades algebraicas de dimensión dos) surgió de una teoría geométrica prácticamente completa de las curvas algebraicas (de dimensión 1). Hacia 1870, la teoría de curvas había incorporado, con la teoría de Brill-Noether, el teorema de Riemann-Roch en todos sus refinamientos (a través de la geometría detallada del divisor theta).

La clasificación de superficies algebraicas representó un intento audaz y exitoso de repetir la división de las curvas algebraicas según su genus g. Esta división de curvas corresponde a la clasificación aproximada en tres tipos: g = 0 (recta proyectiva); g = 1 (curva elíptica); y g > 1 (superficie de Riemann con diferenciales holomorfos independientes). En el caso de las superficies, la clasificación de Enriques se dividió en cinco grandes clases similares, tres de ellas análogas a los casos de curvas, y dos más (fibración elíptica y superficies K3, como se las denominaría ahora) se situaban junto con el caso bidimensional de las variedades abelianas en el ámbito intermedio. Este fue un conjunto de ideas esencialmente sólidas e innovadoras, recuperadas en el lenguaje moderno de las variedades complejas por Kunihiko Kodaira en la década de 1950, y refinadas para incluir fenómenos módulo p por Zariski, la escuela de Ígor Shafarévich y otros hacia 1960. También se elaboró la forma del teorema de Riemann-Roch en una superficie.

Algunas demostraciones producidas por la escuela no se consideran satisfactorias debido a dificultades fundamentales. Esto incluía el uso frecuente de modelos birracionales en dimensión tres de superficies que solo pueden tener modelos no singulares cuando se encuentran embebidas en un espacio proyectivo de dimensiones superiores. Para evitar estos problemas, se desarrolló una teoría sofisticada para el manejo de sistemas lineales de divisores (en efecto, una teoría de haces de rectas para secciones hiperplanas de supuestas incrustaciones en el espacio proyectivo). Se encontraron muchas técnicas modernas, en forma embrionaria, y en algunos casos la articulación de estas ideas superó el lenguaje técnico disponible.

Según Guerraggio y Nastasi (página 9, 2005), Luigi Cremona es considerado el fundador de la escuela italiana de geometría algebraica. Más adelante explican que en Turín, la colaboración de Enrico D'Ovidio y Corrado Segre "llevaría, ya sea por sus propios esfuerzos o por los de sus alumnos, la geometría algebraica italiana a su plena madurez". Un antiguo alumno de Segre, Henry Frederick Baker, escribió^[1] que Corrado Segre "probablemente pueda considerarse el padre de esa maravillosa escuela italiana que tanto ha logrado en la teoría birracional de los lugares geométricos algebraicos". Sobre este tema, Brigaglia y Ciliberto (2004) afirman que "Segre dirigió y mantuvo la escuela de geometría que Luigi Cremona había fundado en 1860". La referencia en el Mathematics Genealogy Project muestra que, en términos de doctorados italianos, la verdadera productividad de la escuela comenzó con Guido Castelnuovo y Federigo Enriques.

La lista de honor de la escuela incluye a los siguientes matemáticos italianos: Giacomo Albanese, Eugenio Bertini, Luigi Campedelli, Oscar Chisini, Michele De Franchis, Pasquale del Pezzo, Beniamino Segre, Francesco Severi, Guido Zappa (con contribuciones también de Gino Fano, Carlo Rosati, Giuseppe Torelli y Giuseppe Veronese).

Además, participaron Henry Frederick Baker y Patrick du Val (Reino Unido), Arthur Byron Coble (Estados Unidos), Georges Humbert y Charles Émile Picard (Francia), Lucien Godeaux (Bélgica), Hermann Schubert y Max Noether, y posteriormente Oscar Zariski (Estados Unidos), Erich Kähler (Alemania) y Hieronymus Georg Zeuthen (Dinamarca).

Todas estas figuras estaban relacionadas con la geometría algebraica, más que con la búsqueda de la geometría proyectiva como geometría sintética, que durante el período en cuestión era un tema de gran volumen, pero secundario (en términos de importancia para la investigación).

En 1950, Henry Forder mencionó la escuela italiana en relación con las curvas algebraicas:^[2]

El desarrollo posterior de la teoría de curvas planas solo resulta fructífero cuando se relaciona con la teoría de las superficies de Riemann y la función abeliana. Este ha sido un tema de estudio predilecto de los geómetras italianos durante los últimos cincuenta años, quienes también han realizado valiosas contribuciones a una teoría similar de superficies y de “variedades” de dimensiones superiores. Aquí, una combinación de la teoría de integración sobre las variedades y de su topología produce resultados decisivos. La teoría de curvas y superficies se conecta así con el álgebra y la topología modernas...

La nueva geometría algebraica que sucedería a la escuela italiana se caracterizó por el uso intensivo de la topología algebraica. El fundador de esta tendencia fue Henri Poincaré, y durante la década de 1930 fue desarrollada por Solomon Lefschetz, Hodge y Todd. La síntesis moderna reunió su trabajo, el de la escuela de Cartan, y el de W.L. Chow y Kunihiko Kodaira, con el material tradicional.

En los primeros años de la escuela italiana bajo Castelnuovo, el nivel de rigor era tan alto como el de la mayoría de las áreas de las matemáticas.^[3] Bajo Enriques, gradualmente se volvió aceptable usar argumentos algo más informales en lugar de pruebas rigurosas completas,^[3] como el "principio de continuidad" que dice que lo que es cierto hasta el límite es cierto en el límite, una afirmación que no tenía ni una prueba rigurosa ni siquiera una declaración precisa. A pesar de esto, muchas de las afirmaciones de Enriques resultaron ser correctas, y pudo producir resultados espectaculares sobre superficies algebraicas. Desafortunadamente, a partir de 1930, bajo el liderazgo de Severi, los estándares de precisión disminuyeron aún más, hasta el punto en que algunos de los resultados afirmados no solo estaban insuficientemente probados, sino que eran incorrectos. Por ejemplo, en 1934 Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racionales de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo. En 1946, Severi publicó un artículo en el que afirmaba probar que una superficie de grado 6 en el espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo 52 nodos, mientras que la séxtica de Barth tiene 65 nodos. Severi no aceptó que sus argumentos fueran insuficientes, lo que dio lugar a acaloradas disputas sobre la validez de algunos resultados.

En la década de 1940, la comunidad matemática internacional comenzó a dudar de los fundamentos del razonamiento de la escuela italiana, y conceptos como la multiplicidad de intersección, que existían desde hacía varias décadas, comenzaron a ser cuestionados.^[4] La geometría algebraica comenzó a evolucionar en una nueva dirección, siguiendo las ideas de Weil y Zariski, quienes desarrollaron nuevos fundamentos basados en el álgebra conmutativa de Krull y Noether.^[5] En particular, en la década de 1960, Kodaira y Shafarevich, junto con sus alumnos, reescribieron la clasificación de Enriques de superficies algebraicas y lo extendieron a todas las superficies complejas compactas, mientras que en la década de 1970 Fulton y MacPherson fundamentaron rigurosamente los cálculos clásicos de la teoría de la intersección.