Matemáticas experimentales
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Las matemáticas experimentales es un enfoque matemático en el que se utiliza la computación para investigar objetos matemáticos e identificar propiedades y patrones.[1] Se ha definido como «la rama de las matemáticas que se ocupa, en última instancia, de la codificación y transmisión de conocimientos dentro de la comunidad matemática mediante la exploración experimental (en el sentido galileano, baconiano, aristotélico o kantiano) de conjeturas y creencias más informales, así como un análisis cuidadoso de los datos obtenidos en este proceso».[2]
Como expresó Paul Halmos: «Las matemáticas no son una ciencia deductiva; eso es un cliché. Cuando se intenta demostrar un teorema, no se trata simplemente de enumerar las hipótesis y luego empezar a razonar. Se hace mediante ensayo y error, experimentación y conjeturas. Se busca averiguar cuáles son los hechos, y en ese sentido, lo que se hace es similar a lo que hace un técnico de laboratorio».[3]
Los matemáticos siempre han practicado la matemática experimental. Los registros existentes de las matemáticas tempranas, como las matemáticas babilónicas, suelen consistir en listas de ejemplos numéricos que ilustran identidades algebraicas. Sin embargo, a partir del siglo XVII, las matemáticas modernas desarrollaron la tradición de publicar los resultados en una presentación final, formal y abstracta. Los ejemplos numéricos que pudieron haber llevado a un matemático a formular originalmente un teorema general no se publicaron y, por lo general, se olvidaron.
La matemática experimental como área de estudio independiente resurgió en el siglo XX, cuando la invención de la computadora electrónica amplió enormemente el alcance de los cálculos factibles, con una velocidad y precisión mucho mayores que cualquier otra disponible para las generaciones anteriores de matemáticos. Un hito y logro significativo de la matemática experimental fue el descubrimiento en 1995 de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe para los dígitos binarios de π. Esta fórmula no se descubrió mediante razonamiento formal, sino mediante búsquedas numéricas en una computadora; solo después se encontró una demostración rigurosa.[4]
Objetivos y usos
Los objetivos de las matemáticas experimentales son «generar comprensión y conocimiento; generar y confirmar o confrontar conjeturas; y, en general, hacer que las matemáticas sean más tangibles, dinámicas y entretenidas tanto para el investigador profesional como para el principiante».[5]
Los usos de las matemáticas experimentales se han definido de la siguiente manera:[5]
- Adquirir perspectiva e intuición.
- Descubrir nuevos patrones y relaciones.
- Usar representaciones gráficas para sugerir principios matemáticos subyacentes.
- Probar y, sobre todo, refutar conjeturas.
- Explorar un posible resultado para determinar si merece una demostración formal.
- Sugerir enfoques para la demostración formal.
- Reemplazar largas derivaciones manuales por derivaciones informáticas.
- Confirmar resultados obtenidos analíticamente.
Herramientas y técnicas
Las matemáticas experimentales emplean métodos numéricos para calcular valores aproximados de integrales y series infinitas. La aritmética de precisión arbitraria se utiliza a menudo para establecer estos valores con un alto grado de precisión, típicamente 100 cifras significativas o más. Posteriormente, se emplean algoritmos de relaciones enteras para buscar relaciones entre estos valores y constantes matemáticas. Trabajar con valores de alta precisión reduce la posibilidad de confundir una coincidencia matemática con una relación verdadera. Se buscará entonces una demostración formal de una relación conjeturada; a menudo es más fácil encontrar una demostración formal una vez que se conoce la forma de una relación conjeturada.
Si se busca un contraejemplo o se intenta una demostración a gran escala por agotamiento, se pueden utilizar técnicas de computación distribuida para dividir los cálculos entre varios ordenadores.
Se utiliza con frecuencia software matemático general o software específico de dominio, diseñado para abordar problemas que requieren alta eficiencia. El software matemático experimental suele incluir mecanismos de detección y corrección de errores, comprobaciones de integridad y cálculos redundantes diseñados para minimizar la posibilidad de que los resultados se invaliden por un error de hardware o software.
