Matriz nilpotente

Si ${\displaystyle A\,}$ es una matriz nilpotente, entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

Si A es una matriz nilpotente de orden k, se sigue que ${\displaystyle A^{k}=0\,}$. Por lo tanto, ${\displaystyle \det(A^{k})=0\,}$. Luego, ${\displaystyle \det(A)^{k}=0\,}$ por lo que ${\displaystyle \det(A)=0\,}$.

El recíproco no es cierto; por ejemplo, la matriz

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}}$

tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una matriz es nilpotente si y sólo si todos sus valores propios son cero.

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La matriz

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

es nilpotente, ya que M² = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

es nilpotente, con

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de ceros en las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}6&-9\\4&-6\end{bmatrix}}\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}}$

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.