Operador covarianza

En teoría de la probabilidad, para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con el producto interno $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , la covarianza de P es la forma bilineal Cov: H × H → R dada por

\mathrm {Cov} (x,y)=\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)

para todo x e y en H. El operador de covarianza C se define entonces por^[1]

\mathrm {Cov} (x,y)=\langle Cx,y\rangle

Propiedades

A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada. Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto. Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear. En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.

Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B^#, definida por

\mathrm {Cov} (x,y)=\int _{B}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)

donde $\langle x,z\rangle$ es ahora el valor de la función lineal x en el elemento z.

De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es

\mathrm {Cov} (x,y)=\int z(x)z(y)\,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)=E(z(x)z(y))

donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal $u\mapsto u(x)$ evaluado en z.

Operador covarianza

El operador covarianza $\operatorname {C} _{\mu }:U^{*}\to U^{**}$ de $\mu$ está definido por:

\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{U}[\varphi (x)-a_{\mu }(\varphi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm {d} x)

para $\varphi ,\xi \in U^{*}$ , donde $a_{\mu }$ denota el valor esperado de $\mu$

a_{\mu }(\varphi )=\int _{U}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).

^[2]

El operador induce una aplicación simétrica $\operatorname {Cov} _{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to \mathbb {R}$ a través de $\operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )$ , que es bilineal y definida, se llama covarianza.

Justificación

Sean $a_{\mu }$ y $\varphi$ acotados. Si $U$ es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz para $\varphi \in U^{*}$ se cumple que $\varphi (x)=\langle h,x\rangle$ para todo $x\in U$ y $h\in U$ y $a_{\mu }=\langle h,m\rangle$ para $m\in U$ , y por lo tanto