Campo aleatorio

Dado un espacio probabilístico ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, un campo aleatorio con valores en X es una colección de variables aleatorias con valores en X' indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

donde cada ${\displaystyle F_{t}}$ es una variable aleatoria con valores en X.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

En su versión discreta, un campo aleatorio es una lista de números aleatorios cuyos índices se identifican con un conjunto discreto de puntos en un espacio (por ejemplo, un espacio euclídeo de dimensión n). Supongamos que hay cuatro variables aleatorias, ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$, ${\displaystyle X_{3}}$ y ${\displaystyle X_{4}}$, situadas en una cuadrícula 2D en (0,0), (0,2), (2,2) y (2,0), respectivamente. Supongamos que cada variable aleatoria puede tomar el valor de −1 o 1, y que la probabilidad del valor de cada variable aleatoria depende de sus vecinos inmediatamente adyacentes. Este es un ejemplo sencillo de un campo aleatorio discreto.

De manera más general, los valores que puede tomar cada ${\displaystyle X_{i}}$ pueden definirse en un dominio continuo. En cuadrículas más grandes, también puede ser útil pensar en el campo aleatorio como una variable aleatoria «con valor de función», tal y como se ha descrito anteriormente. En la teoría cuántica de campos la noción se generaliza a una función aleatoria, que toma valores aleatorios sobre un espacio de funciones(véase integral de Feynman).

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs, el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano. En 1974, Julian Besag propuso un método de aproximación basado en la relación entre los MRF y los RF de Gibbs.

Un MRF exhibe la propiedad de Markov

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

para cada elección de valores ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$. Aquí, cada ${\displaystyle \partial _{i}}$ es el conjunto de vecinos de ${\displaystyle i}$. En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria adopte un valor depende de sus variables aleatorias vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF, en cualquier medida de probabilidad, ya que el denominador es siempre 1, viene dada por

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

donde la suma (que puede ser una integral) se realiza sobre los valores posibles de «k». A veces es difícil calcular esta cantidad con exactitud.

Cuando se utiliza en las ciencias naturales, los valores de un campo aleatorio suelen estar correlacionados espacialmente. Por ejemplo, los valores adyacentes (es decir, los valores con índices adyacentes) no difieren tanto como los valores que están más separados. Este es un ejemplo de una estructura de covarianza, de la que se pueden modelar muchos tipos diferentes en un campo aleatorio. Un ejemplo es el modelo de Ising, en el que a veces las interacciones entre vecinos más cercanos solo se incluyen como simplificación para comprender mejor el modelo.

Un uso común de los campos aleatorios es la generación de gráficos por ordenador, en particular aquellos que imitan superficies naturales como el agua y el suelo. Los campos aleatorios también se han utilizado en modelos del subsuelo, como en^[2]

En neurociencia, particularmente en estudios de imagen cerebral funcional relacionada con tareas que utilizan PET o fMRI, el análisis estadístico de campos aleatorios es una alternativa común a la corrección por comparaciones múltiples para encontrar regiones con activación «verdaderamente» significativa.^[3] De manera más general, los campos aleatorios se pueden utilizar para corregir el efecto look-elsewhere en las pruebas estadísticas, donde el dominio es el espacio de parámetros que se busca.^[4]

También se utilizan en aplicaciones de aprendizaje automático(véase Modelo en grafo).

Los campos aleatorios son de gran utilidad en el estudio de los procesos naturales mediante el método Monte Carlo, en el que los campos aleatorios corresponden a propiedades que varían espacialmente de forma natural. Esto da lugar a campos aleatorios con valores tensoriales ((Ni aquí ni en el artículo de Wikipedia enlazado hay indicación alguna de lo que podrían ser estos tensores.Octubre de 2023)), en los que desempeña un papel clave un «elemento de volumen estadístico» (SVE), que es una caja espacial sobre la que se pueden promediar las propiedades; cuando el SVE se hace lo suficientemente grande, sus propiedades se vuelven deterministas y se recupera el elemento de volumen representativo (RVE) de la física continua determinista. El segundo tipo de campo aleatorio que aparece en las teorías continuas es el de las cantidades dependientes (temperatura, desplazamiento, velocidad, deformación, rotación, fuerzas corporales y superficiales, tensión, etc.).^[5] ((¿Qué significa «dependiente» en este contexto? ¿Se supone que hay una dicotomía aquí entre «tensor-valued» y «dependent»? ¿No puede algo ser ambas cosas o ninguna? Octubre de 2023))