Oscilador de van der Pol

El oscilador de van der Pol fue descrito por el ingeniero y físico Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips.^[1] Van der Pol encontró oscilaciones estables, que llamó oscilaciones de relajación,^[2] conocidas en la actualidad como ciclos límite, en circuitos que usaban válvulas de vacío. Cuando esos circuitos se hacen funcionar cerca del ciclo límite entran en acoplamiento y la señal entra en fase con la corriente. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en el número de septiembre de 1927 de Nature^[3] que para determinadas frecuencias aparecía un ruido irregular, siempre cerca de las frecuencias de acoplamiento. Fue uno de los primeros descubrimientos experimentales de la Teoría del caos.^[4]

La ecuación de van der Pol tiene una larga historia en física y biología. Por ejemplo, en biología, Fitzhugh^[5] y Nagumo^[6] aplicaron la ecuación a un campo bidimensional en el modelo de FitzHugh-Nagumo para describir el potencial de acción de las neuronas. También se ha usado en sismología para modelar el comportamiento de dos placas en una falla.^[7]

El teorema de Liénard prueba que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard ${\displaystyle y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$, donde el '.' indica derivada, la ecuación se puede escribir en forma bidimensional:^[8]

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$

Hay dos regímenes de funcionamiento interesantes para el oscilador no forzado:^[9]

• Cuando μ = 0, no hay amortiguamiento, y la ecuación queda:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.}$

Es la fórmula del oscilador armónico simple sin pérdida de energía.

• Cuando μ > 0, el sistema alcanzará un ciclo límite, en el que se conservará la energía. Cerca del origen x = dx/dt = 0 el sistema es inestable, y lejos del origen hay amortiguamiento.

Utilizando una fuente de excitación sinusoidal Asin(ωt) la ecuación diferencial queda:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

en la que A es la amplitud de la ecuación de onda y ω su velocidad angular.