Polinomio positivo

• Polinomios globalmente positivos y su descomposición en suma de cuadrados .
  • Cada polinomio real en una variable y con grado par es no-negativo en ℝ si y sólo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable.^[1] Esta equivalencia no se puede generalizar para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio Motzkin ${\displaystyle x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}$ es no-negativo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ pero no es una suma de cuadrados de elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$.^[2]
  • Un polinomio real en n variables es no-negativo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si y sólo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en n variables (léase el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin).^[3]
  • Supongamos que ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ es homogéneo de grado par. Si es positivo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$, entonces existe un entero m tal que ${\displaystyle (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})^{m}\cdot p}$ es una suma de cuadrados de elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.^[4]
• Polinomios positivos en politopos.
  • Para polinomios de grado ≤ 1 tenemos la variante siguiente de Lema de Farkas: Si ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{k}}$ tienen grado ≤ 1 y ${\displaystyle f(x)\geq 0}$para toda ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ que satisface ${\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\ldots ,g_{k}(x)\geq 0}$, entonces existen números reales no negativos ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{k}}$ tales que ${\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\ldots +c_{k}g_{k}}$.
  • Teorema de Pólya:^[5] Si ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ es homogéneo y ${\displaystyle p}$ es positivo en el conjunto ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0,\ldots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\ldots +x_{n}\neq 0\}}$, entonces existe un entero ${\displaystyle m}$ tal que ${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})^{m}\cdot p}$ tiene coeficientes no negativos.
  • Teorema de Handelman:^[6] Si ${\displaystyle K}$ es un politopo compacto en un espacio Euclidiano de dimensión ${\displaystyle d}$, definido por las desigualdades lineales ${\displaystyle g_{i}\geq 0}$, y si ${\displaystyle f}$ es un polinomio en ${\displaystyle d}$ variables que es positivo en ${\displaystyle K}$, entonces ${\displaystyle f}$ puede ser expresado como combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de elementos del conjunto ${\displaystyle \{g_{i}\}}$.
• Polinomios positivos en conjuntos semialgebráicos.
  • El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle.
  • Para conjuntos semialgebráicos compactos, tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen,^[7][8] el positivstellensatz de Putinar,^[9][10] y el positivstellensatz de Vasilescu.^[11] Un punto común entre estos es que ningún denominador se necesita.
  • Para conjuntos semialgebráicos de buen comportamiento y de dimensión baja, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores.^[12][13][14]

Positivstellensatz también existen para polinomios trigonométricos, polinomios matriciales, polinomios en variables libres, varios polinomios cuánticos, et cétera [cita faltante].