Polinomio trigonométrico

Se llama polinomio trigonométrico real de grado n-ésimo, a cualquier función ${\displaystyle P(x)}$ definida por:

${\displaystyle P(x)={\frac {\alpha _{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}\cos(kx)+\sum _{k=1}^{N}\beta _{k}\operatorname {sen}(kx)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )}$

siendo ${\displaystyle \alpha _{k}}$ y ${\displaystyle \beta _{k}}$ coeficientes reales no nulos, con ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$^[1]

Un polinomio trigonométrico real, siendo compuesto de funciones periódicas, también se puede definir algo más generalmente por su período, siendo éste un número real positivo ${\displaystyle T}$. Si se define ${\displaystyle {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}}$, entonces el polinomio es escrito como:

${\displaystyle P(x)={\frac {\alpha _{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}\cos(k\omega x)+\sum _{k=1}^{N}\beta _{k}\operatorname {sen}(k\omega x)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )}$

donde ${\displaystyle \omega }$ es la llamada frecuencia angular. Para los parámetros restantes, las mismas suposiciones y designaciones se aplican como en el caso especial de ${\displaystyle T=2\pi }$ y ${\displaystyle \omega =1}$.

De manera similar, se llama polinomio trigonométrico complejo de grado n-ésimo, a cualquier función ${\displaystyle P(x)}$ definida por:

${\displaystyle P(x)={\frac {\alpha _{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}\cos(kx)+i\sum _{k=1}^{N}\beta _{k}\operatorname {sen}(kx)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )}$

siendo ${\displaystyle \alpha _{k}}$ y ${\displaystyle \beta _{k}}$ también coeficientes reales no nulos, con ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$ y ${\displaystyle i={\sqrt {-}}1}$. Usando la fórmula de Euler, la anterior ecuación puede ser reescrita como:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-N}^{N}\gamma _{k}e^{ikx}\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } ).}$

siendo ${\displaystyle \gamma _{k}}$ un coeficiente complejo, escrito en la forma polar ${\displaystyle \gamma _{k}=c_{k}e^{i\theta _{k}}}$ o en la forma ${\displaystyle \gamma _{k}=a_{k}+ib_{k}}$

Los polinomios trigonométricos cumplen con las siguientes propiedades ortogonales, siendo ${\displaystyle (k,l\in \mathbb {N} )}$ y ${\displaystyle \omega }$ definido como se hizo previamente:

1. ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \operatorname {sen}(l\omega x)\,dx=0}$,
2. ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \cos(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l=0)\end{cases}}}$
3. ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\operatorname {sen}(k\omega x)\cdot \operatorname {sen}(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\0\quad (k=l=0).\end{cases}}}$

En el caso de los polinomios complejos, siendo ${\displaystyle (k,l\in \mathbb {Z} )}$ la ortogonalidad se expresa así:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}e^{ik\omega x}\cdot e^{-il\omega x}\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l).\end{cases}}}$

El teorema de Fejér establece que la media aritmética de las sumas parciales de la serie de Fourier de la función ${\displaystyle f}$ converge uniformemente a ${\displaystyle f}$, siempre que esta función sea continua en el círculo, dando así una manera explícita de encontrar un polinomio trigonométrico aproximado T.

Los polinomios trigonométricos forman un conjunto denso en el espacio de funciones continuas en el círculo unitario, con la norma uniforme.^[2] Este es un caso especial del Teorema de Stone-Weierstrass. Más concretamente, para cada función continua ${\displaystyle f}$ y cada ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe un polinomio trigonométrico ${\displaystyle T}$ tal que ${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$ para todo número ${\displaystyle z}$.

Un polinomio trigonométrico de grado N tiene un máximo de 2N raíces en cualquier intervalo semiabierto ${\displaystyle [a,a+2\pi )}$ siendo ${\displaystyle a}$ un número real.^[3]