Potencial de velocidad

Un potencial de velocidad es un potencial escalar utilizado en la teoría del flujo potencial. Fue introducido por Joseph-Louis Lagrange en 1788.^[1]

Se utiliza en mecánica de medios continuos, cuando un continuo ocupa una región simplemente conexa y es irrotacional. En tal caso, $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =0\,,}$$ donde u denota la velocidad de flujo. Como resultado, u puede representarse como el gradiente de una función escalar Φ: $${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \Phi \ ={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\mathbf {k} \,.}$$

Φ se conoce como un potencial de velocidad para u.

Un potencial de velocidad no es único. Si Φ es un potencial de velocidad, entonces Φ + a(t) es también un potencial de velocidad para u, donde a(t) es una función escalar del tiempo y puede ser constante. En otras palabras, los potenciales de velocidad son únicos hasta una constante, o una función únicamente de la variable temporal.

El Laplaciano de un potencial de velocidad es igual a la divergencia del flujo correspondiente. Por lo tanto, si un potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace, el flujo es incompresible.

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \Phi }$

${\displaystyle }{\vec {u}}{=}{\vec {\nabla }}{\Phi }$ (vector velocidad o campo de flujo igual al gradiente del potencial de velocidad, en otra notacion)

${\displaystyle }{\vec {\nabla }}{\cdot }{\vec {\nabla }}{\Phi =}{\vec {\nabla }}{\cdot }{\vec {u}}{}$ (divergencia del flujo correspondiente)

${\displaystyle }{\vec {\nabla }}{\cdot }{\vec {\nabla }}{\Phi =0=\nabla ^{2}\Phi =\Delta \Phi }$ (ecuación de Laplace, en varias notaciones)

${\displaystyle }{\vec {\nabla }}{\cdot }{\vec {u}}{=0}$ (incompresible, no tiene compresión, o sea densidad o volumen constante, divergencia de la velocidad igual a cero, similar a un campo magnético)

A diferencia de una función de flujo, un potencial de velocidad puede existir en un flujo tridimensional.