Problema de Alhacén

El trabajo del matemático medieval Alhacén en catóptrica (óptica de espejos) le permitió solucionar en el Volumen V de su Libro de Óptica un problema geométrico importante conocido como problema de Alhacén, aunque fue formulado en primer lugar por Tolomeo en el año 150 d.c.^[1] Alhacén solucionó el problema utilizando secciones cónicas y una comprobación geométrica.

Su trabajo se tradujo al latín entre el final del siglo XII y el comienzo del siglo XIII. Vitellius publicó en 1270 una "Óptica" inspirada en gran medida por el tratado de Alhacén y que contiene el problema,^[2] pero sin aportar nada nuevo. El trabajo original de Alhacén se publicó por primera vez en Europa en Basilea en 1572.^[3]

Matemáticos posteriores como Christiaan Huygens, James Gregory, Guillaume de l'Hôpital, Isaac Barrow, y muchos otros, intentaron encontrar una solución algebraica al problema, utilizando varios métodos, incluyendo métodos analíticos de geometría y derivación por números complejos.^[4]

Una solución algebraica al problema fue finalmente encontrada en 1997 por el matemático de Oxford Peter M. Neumann.^[5]

Más recientemente, los investigadores de los Mitsubishi Electric Research Labs (MERL) Amit Agrawal, Yuichi Taguchi y Srikumar Ramalingam solucionaron la extensión del problema de Alhazen al caso general de espejos rotacionales simétricos cuadráticos, que incluyen los tipos hiperbólicos, parabólicos y elípticos.^[6] Demostraron que el punto de reflexión del espejo puede ser determinado resolviendo una ecuación de octavo grado en el caso más general. Si la cámara (o el ojo del observador) se coloca en el eje del espejo, el grado de la ecuación se reduce a seis.^[7]

El problema de Alhazen también puede ser extendido a las refracciones a través de una bola esférica. Dada una fuente de luz y una esfera de índice de refracción conocido, el punto más cercano de la esfera desde el que la luz refractada alcanza el ojo del observador puede ser obtenido solucionando una ecuación de décimo grado.^[7]

• Geométrico: Dados dos puntos cualesquiera del interior de un círculo situado en un plano, debe determinarse un punto de la circunferencia, de forma que los dos segmentos que lo unen a los dos puntos dados, formen ángulos iguales con la normal a la circunferencia en el punto buscado.
• Geométrico: Deducir un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia, cuyos lados iguales pasan por dos puntos dados interiores a la circunferencia.
• Mecánico: Encontrar el punto en el borde de una mesa de billar circular hacia el que hay que lanzar una bola para alcanzar a la otra.
• Óptico: Su aplicación principal en óptica es la de solucionar el problema siguiente: "Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encontrar el punto del espejo donde la luz se verá reflejada para el ojo de un observador dado". También es conocido como el problema de la determinación del "punto brillante" de un espejo.
• Analíticamente, significa la resolución de una ecuación de cuarto grado.^[8][9][1]

Las ecuaciones involucradas son las siguientes:^[10]

• DATOS DEL PROBLEMA:

• Puntos por los que deben pasar los rayos de luz:

${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}$

• Circunferencia de radio r, con centro en el origen:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

• Punto buscado de la circunferencia, solución del problema:

${\displaystyle A=(x,y)}$

• RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

El punto A es la intersección de las dos curvas siguientes:

• Hipérbola:

${\displaystyle H(x^{2}-y^{2})-2Kxy+(x^{2}+y^{2})(hy-kx)=0}$

${\displaystyle (}$siendo${\displaystyle$ :\;H=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ ;\ K=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\ ;\ h=x_{1}+x_{2}\ ;\ k=y_{1}+y_{2})}

• Circunferencia:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

Quedan entonces determinadas las ecuaciones que permiten resolver el problema, buscando los valores donde se anula esta función con las condiciones siguientes:

${\displaystyle [1]\ -r\leq x\leq r}$

${\displaystyle [2]\ y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle [3]\ H(x^{2}-y^{2})-2Kxy+r^{2}(hy-kx)=0}$

La resolución numérica de cada caso concreto (para valores determinados de r, P₁ y P₂) puede encontrarse mediante algún procedimiento de aproximaciones sucesivas, tanteando con los valores de x comprendidos entre -r y r.

El objetivo es resolver el siguiente problema óptico: "Dada una fuente de luz y un espejo esférico, convexo o cóncavo, determínese el punto de la superficie donde se refleja el rayo de luz antes de llegar al ojo del observador". Este problema es similar a la pregunta: "En un billar circular, ¿en qué dirección se envía la bola para que rebote en el borde del billar antes de alcanzar la bola objetivo?"

La solución para un espejo plano es conocida desde la antigüedad: es el punto de intersección del espejo plano con la línea que une el ojo del observador y la posición simétrica de la fuente de luz con respecto al espejo plano. Esta propiedad se deriva del hecho de que el rayo de luz reflejado permanece en el mismo plano que el rayo incidente y mantiene el mismo ángulo con respecto a la normal a la superficie.

El problema de la reflexión sobre un espejo esférico, en su aspecto simétrico, ya había sido estudia en el siglo II por Claudio Ptolomeo.^[11]

Una traducción geométrica de este problema es: «dados dos puntos A y B de un plano y un círculo dado de centro O y radio r, encuéntrese el punto D del círculo tal que la línea (OD) sea la bisectriz del ángulo (ADB)».

Alhacén resolvió el problema utilizando intersecciones de cónicas, presentando una prueba geométrica en 6 lemas^[12] en el volumen V de su Libro de óptica (siglo XI). Transforma el problema en la construcción de una secante en un triángulo isósceles:

Tomamos nuevamente la transformación anterior: encontrar el punto D de un círculo de centro O y de radio r tal que (OD) sea bisectriz del ángulo AOB. Para ello, se construye un triángulo isósceles MNP cuyo ángulo de vértice P es igual a AOB. Colóquese en la base [MN] un punto F como ${\displaystyle {\frac {FM}{FN}}={\frac {OB}{OA}}}$. Trácese por F una secante al triángulo que interseca [NP] en Q y la mediatriz de [MN] sobre S para que ${\displaystyle {\frac {SQ}{QN}}={\frac {OB}{r}}}$ (esta construcción usa la intersección de una hipérbola y de un círculo) y se demuestra que el ángulo SQN es igual al ángulo BOD, donde D es el punto deseado.

No se limitó al espejo esférico, sino que resolvió los casos del espejo cilíndrico y del espejo cónico.^[11]

Este problema llevó a Alhacén a deducir una fórmula para sumar cuartas potencias, donde anteriormente solo las fórmulas para la suma de cuadrados y de cubos habían sido planteadas. Su método puede ser fácilmente generalizado para encontrar la fórmula de la suma de cualquier potencia entera, a pesar de que no llegó a plantear la generalización de su fórmula (quizás porque solo necesitaba la cuarta potencia para calcular el volumen del paraboloide en el que estaba interesado). Utilizó su resultado de la suma de potencias enteras para calcular lo que actualmente se llamaría una integración, donde las fórmulas para las sumas de segundas y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide.^[13]