Sumas de potencias

En matemáticas y estadística, las sumas de potencias aparecen en diversos contextos:

• La suma de cuadrados surge en muchos contextos. Por ejemplo, en geometría, el teorema de Pitágoras implica la suma de dos cuadrados. En teoría de números se pueden citar el teorema de los tres cuadrados de Legendre y el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi; y en estadística, el análisis de la varianza implica la suma de los cuadrados de cantidades.
• Solo existe un número finito de enteros positivos que no son sumas de cuadrados distintos. El mayor es 128. Lo mismo se aplica a las sumas de cubos distintos (la mayor es 12.758), cuartas potencias distintas (la mayor es 5.134.240), etc. Véase^[1] para una generalización a sumas de polinomios.
• La fórmula de Faulhaber expresa ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$ como un polinomio en n, o alternativamente, en términos de polinomios de Bernoulli.
• El teorema del triángulo rectángulo de Fermat indica que no existe solución en enteros positivos para ${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$ y ${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$.
• El último teorema de Fermat indica que ${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$ es imposible en enteros positivos con k > 2.
• La ecuación de la superelipse es ${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$. El squircle corresponde al caso k= 4, a= b.
• La conjetura de Euler (refutada) se refiere a situaciones en las que la suma de n enteros, cada uno una potencia de k^enésima de un entero, es igual a otra potencia de k^enésima.
• La conjetura de Fermat–Catalan pregunta si existe una infinidad de ejemplos en los que la suma de dos enteros coprimos, cada uno una potencia de un entero, con potencias no necesariamente iguales, puede ser igual a otro entero que también es una potencia, y los recíprocos de las tres potencias suman menos de 1.
• La conjetura de Beal se refiere a la cuestión de si la suma de dos enteros coprimos, cada uno una potencia mayor que 2 de un entero, con potencias no necesariamente iguales, puede ser igual a otro entero que es una potencia mayor que 2.
• La ecuación de Jacobi-Madden es ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$ en enteros.
• El problema de Prouhet-Tarry-Escott considera sumas de dos conjuntos de potencias k^enésimas de enteros que son iguales para múltiples valores de k.
• Un número taxicab es el entero más pequeño que puede expresarse como suma de dos potencias cúbicas positivas de n maneras distintas.
• La función zeta de Riemann es la suma de recíprocos de los enteros positivos elevados a la potencia s, donde s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1.
• La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge se refiere al valor mínimo de m + n en ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$.
• El problema de Waring pregunta si para cada número natural k existe un entero positivo asociado s tal que cada número natural es la suma de como máximo sk^enésimas potencias de números naturales.
• Las potencias sucesivas del número áureo f obedecen a la recurrencia de Fibonacci:

$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$$

• Las identidades de Newton expresan la suma de las potencias k^enésimas de todas las raíces de un polinomio en términos de los coeficientes del polinomio.
• La suma de cubos de números en progresión aritmética a veces es otro cubo.
• La cúbica de Fermat, en la que la suma de tres cubos es igual a otro cubo, tiene una solución general.
• La suma de potencias de polinomios simétricos es un elemento básico para los polinomios simétricos.
• La suma de los recíprocos de todas las potencias perfectas, incluyendo los duplicados (pero sin incluir el 1), es igual a 1.
• Se conjetura que la ecuación de Erdős-Moser, ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$, donde m y k son enteros positivos, no tiene más soluciones que 1¹ + 2¹= 3¹.
• Las sumas de tres cubos no puede ser igual a 4 o 5 módulo 9, pero se desconoce si todos los enteros restantes pueden expresarse de esta forma.
• La suma de los términos de una serie geométrica es ${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}z^{i}={\frac {z^{k}-z^{n+1}}{1-z}}.}$.
• La suma de potencias puede expresarse como ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{k}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}j^{k-a}(i^{a}-(i-1)^{a})}$ para n mayor que 1, a mayor que 1 y para todo k. Esta expresión es útil para determinar sumas de potencias subsiguientes a partir de sumas de potencias previas conocidas.