Problema de Riemann-Hilbert

Supongamos que Σ es un contorno cerrado simple en el plano complejo dividiendo el plano en dos partes por Σ₊ (interior) y Σ₋ (el exterior), determinado por el índice del contorno respecto a un punto. El problema clásico, considerado en la tesis de Riemann (ver Pandey (1996)), fue el de encontrar una función

${\displaystyle M_{+}(z)=u(z)+iv(z)\!}$

analítica dentro de Σ₊ tal que los valores límite de M₊ a lo largo de Σ satisfaciese la ecuación

${\displaystyle a(z)u(z)-b(z)v(z)=c(z)\!}$

para todos los z  ∈   Σ, donde a, b y c son funciones reales (Bitsadze, 2001).

Por el teorema de la función de Riemann, es suficiente considerar el caso cuando Σ es el círculo unidad (Pandey, 1996, §2.2). En este caso, uno puede buscar M₊(z) junto con su reflexión Schwarz:

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}\left({\bar {z}}^{-1}\right)}}.}$

En la Σ del círculo de unidad, se tiene ${\displaystyle z=1/{\bar {z}}}$ y así

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}},\quad z\in \Sigma .}$

Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar un par de funciones M₊(z) y M₋ (z) analítica, respectivamente, en el interior y el exterior del disco de la unidad, para que en el círculo unitario

${\displaystyle {\frac {a(z)+ib(z)}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),}$

y, además, por lo que sostiene la condición en el infinito:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }M_{-}(z)={\bar {M}}_{+}(0).}$

La generalización de Hilbert fue considerar el problema de intentar encontrar M₊ y M_- analítica, respectivamente, en el interior y fuera de la curva Σ, tal que en Σ se tenga

${\displaystyle \alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)\,}$

donde α, β y c son funciones complejas arbitrarias dadas (ya no sólo complejo conjugadas).

En el problema de Riemann, así como en la generalización de Hilbert, el contorno Σ fue simple. Un problema de Riemann–Hilbert completo permite que el contorno puede estar compuesto de alguna unión de varias curvas suaves orientadas, sin intersecciones. Los lados + y − del "contorno", podrán determinarse según el índice de un punto con respecto a Σ. El problema de Riemann–Hilbert es encontrar un par de funciones analíticas M₊ y M_-, en los lados + y − de Σ, respectivamente, sujetas a la ecuación

${\displaystyle \alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)\,}$

para todos los z ∈Σ.

Dado un "contorno" orientado Σ (ahora significa alguna unión orientada de curvas suaves sin auto-intersecciones en el plano complejo). Un problema de factorización de Birkhoff es el siguiente.

Dada una función de matriz V definida en el contorno Σ, encontrar una función holomorfa de matriz M definido en el complemento de la Σ, que cumple dos condiciones:

1. Si M₊ y M₋ denotan los límites no tangenciales de M según nos acerquemos a Σ y, a continuación, M₊  =  M ₋ V, en todos los puntos de no intersección en Σ.
2. Z tiende a infinito a lo largo de cualquier dirección, M tiende a la matriz identidad.

En el caso más simple V es lisa e integrable. En casos más complicados podría tener singularidades. Los límites M₊ y M₋ podrían ser clásicos y continuos o podrían ser adoptados en el sentido L ₂.