Purificación de estados cuánticos

Sea ${\displaystyle \rho }$ una matriz densidad que actúa en un espacio de Hilbert ${\displaystyle H_{A}}$ de dimensión finita ${\displaystyle n}$. Entonces existe un espacio de Hilbert ${\displaystyle H_{B}}$ espacio y un estado puro ${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}$ tal que la traza parcial de ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ con respecto a ${\displaystyle H_{B}}$ es

${\displaystyle \operatorname {tr_{B}} \left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)=\rho .}$

Se dice que ${\displaystyle |\psi \rangle }$ es la purificación de ${\displaystyle \rho }$.

Una matriz densidad es por definición semidefinida positiva. Así que ${\displaystyle \rho }$ puede ser diagonalizada y escrita como ${\displaystyle \rho =\sum _{i=1}^{n}p_{i}|i\rangle \langle i|}$ en alguna base ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$. Sea ${\displaystyle H_{B}}$ otra copia del espacio de Hilbert ${\displaystyle n}$-dimensional con una base ortonormal ${\displaystyle \{|i'\rangle \}}$. Se define ${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}$ por^[1]

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|i\rangle \otimes |i'\rangle .}$

Un cálculo directo da

${\displaystyle \operatorname {tr_{B}} \left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)=\operatorname {tr_{B}} \left[\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|i\rangle \otimes |i'\rangle \right)\left(\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}\langle j|\otimes \langle j'|\right)\right]}$

${\displaystyle =\operatorname {tr_{B}} \left(\sum _{i,j}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}|i\rangle \langle j|\otimes |i'\rangle \langle j'|\right)=\sum _{i,j}\delta _{ij}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}|i\rangle \langle j|=\rho .}$

Esto prueba la proposición.

• El estado puro ${\displaystyle |\psi \rangle }$ está en la forma especificada por la descomposición de Schmidt.

• Dado que la raíz cuadrada de una matriz semidefinida positiva no es única, tampoco lo es su purificación.

• En términos algebraicos, una matriz cuadrada es semidefinida positiva si y solo si se puede purificar en el sentido expuesto arriba. El si la parte de la implicación se sigue inmediatamente del hecho que la traza parcial de una aplicación positiva es otra aplicación positiva (por el teorema de Choi).