Series de Fourier generalizadas

Una serie de Fourier generalizada es la expansión de una función de cuadrado integrable en una suma de funciones de base ortogonales de cuadrado integrable. La serie de Fourier estándar utiliza una base ortonormal formada por funciones trigonométricas, y la expansión en serie se aplica a funciones periódicas. En cambio, una serie de Fourier generalizada utiliza cualquier conjunto de funciones base ortogonales y puede aplicarse a cualquier función de cuadrado integrable.^[1]^[2]

Definición

Considérese un conjunto $\Phi =\{\phi _{n}:[a,b]\to \mathbb {C} \}_{n=0}^{\infty }$ de funciones de valor complejo de cuadrado integrable definidas en el intervalo cerrado $[a,b]$ que son ortogonales dos a dos bajo la función producto interno ponderado:

\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}w(x)dx,

donde $w(x)$ es una función peso y ${\overline {g}}$ es el conjugado complejo de $g$ . Entonces, la serie de Fourier generalizada de una función $f$ es:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\phi _{n}(x),

donde los coeficientes vienen dados por:

c_{n}={\langle f,\phi _{n}\rangle _{w} \over \|\phi _{n}\|_{w}^{2}}.

Problemas de Sturm-Liouville

Dado el espacio $L^{2}(a,b)$ de funciones de cuadrado integrable definidas en un intervalo dado, se pueden encontrar bases ortogonales considerando una clase de problemas de contorno en el intervalo $[a,b]$ , denominados problemas regulares de Sturm-Liouville. Estos se definen de la siguiente manera:

(rf')'+pf+\lambda wf=0

B_{1}(f)=B_{2}(f)=0

donde $r,r'$ y $p$ son reales y continuas en $[a,b]$ y $r>0$ en $[a,b]$ , respectivamente; $B_{1}$ y $B_{2}$ son condiciones de contorno autoadjuntas; y $w$ es una función positiva y continua en $[a,b]$ .

Dado un problema regular de Sturm-Liouville como se definió anteriormente, el conjunto $\{\phi _{n}\}_{1}^{\infty }$ de autofunciones correspondiente a las distintas soluciones de autovalores del problema forman una base ortogonal para $L^{2}(a,b)$ con respecto al producto interno ponderado $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{w}$ .^[3] También se tiene que para una función $f\in L^{2}(a,b)$ que satisface las condiciones de contorno de este problema de Sturm-Liouville, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\langle f,\phi _{n}\rangle \phi _{n}$ converge uniformemente a $f$ .^[4]

Ejemplos

Serie de Fourier-Legendre

Una función $f(x)$ definida en toda la recta numérica se denomina periódica con periodo $T$ si existe un número $T>0$ tal que, para cualquier número real $x$ , se cumple la igualdad $f(x+T)=f(x)$ .

Si una función es periódica con periodo $T$ , también lo es con periodos $2T$ , $3T$ , y así sucesivamente. Generalmente, el periodo de una función se entiende como el menor de estos números $T$ . Sin embargo, para algunas funciones, existen valores de $T$ arbitrariamente pequeños.

La secuencia de funciones $1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...$ se conoce como sistema trigonométrico. Cualquier combinación lineal de funciones de un sistema trigonométrico, incluyendo una combinación infinita (es decir, una serie infinita convergente), es una función periódica con periodo 2p.

En cualquier segmento de longitud 2p (como los segmentos [-π,π] y [0,2π]), el sistema trigonométrico es ortogonal. Esto significa que, para cualesquiera dos funciones del sistema trigonométrico, la integral de su producto sobre un segmento de longitud 2π es igual a cero. Esta integral puede tratarse como un producto escalar en el espacio de funciones integrables sobre un segmento dado de longitud 2π.

Sea la función $f(x)$ definida en el segmento [-π, π]. Con las condiciones adecuadas de suavidad y diferenciabilidad, $f(x)$ puede representarse en este segmento como una combinación lineal de funciones del sistema trigonométrico, también conocida como la expansión de la función $f(x)$ en una serie de Fourier trigonométrica.

Los polinomios de Legendre $P_{n}(x)$ son soluciones del problema de autovalores de Sturm–Liouville:

\left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0.

Como consecuencia de la teoría de Sturm-Liouville, estos polinomios son autofunciones ortogonales con respecto al producto escalar con peso unitario. Esto se puede escribir como una serie de Fourier generalizada (conocida en este caso como serie de Fourier-Legendre) que involucra los polinomios de Legendre, de modo que

f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x),

c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}

Como ejemplo, la serie de Fourier-Legendre puede calcularse para $f(x)=\cos x$ sobre $[-1,1]$ . Entonces

{\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}

y una serie truncada que incluya solo estos términos sería

{\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}

que difiere de $\cos x$ en aproximadamente 0,003. En aplicaciones para ordenador, puede resultar ventajoso utilizar series de Fourier-Legendre en lugar de series de Fourier, ya que las funciones base para la expansión de series son todas polinomios y, por tanto, las integrales y, en consecuencia, los coeficientes pueden ser más fáciles de calcular.

Teoremas del coeficiente

Algunos teoremas sobre los coeficientes de la serie $c_{n}$ incluyen:

Desigualdad de Bessel

La desigualdad de Bessel es una afirmación sobre los coeficientes de un elemento $x$ en un espacio de Hilbert con respecto a una sucesión ortonormal. La desigualdad fue deducida por F.W. Bessel en 1828:^[5]

\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.

Relación de Parseval

El teorema de Parseval generalmente se refiere al resultado de que la transformada de Fourier es unitaria. En términos generales, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o la integral) del cuadrado de su transformada.^[6]

Si Φ es una base completa, entonces:

\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.

Series de Fourier generalizadas

Definición

Problemas de Sturm-Liouville

Ejemplos

Serie de Fourier-Legendre

Teoremas del coeficiente

Desigualdad de Bessel

Relación de Parseval

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos

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