Sistema de partículas interactivas

En teoría de la probabilidad, un sistema de partículas en interacción (IPS) es un proceso estocástico ${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ en algún espacio de configuración ${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ dado por un espacio de sitio, un grafo de orden infinito contable ${\displaystyle G}$ y un espacio de estado local, un compacto espacio métrico ${\displaystyle S}$. Más precisamente, los IPS son procesos de salto de Markov en tiempo continuo que describen el comportamiento colectivo de componentes que interactúan estocásticamente. Los IPS son el análogo en tiempo continuo de los autómatas celulares estocásticos.

Entre los principales ejemplos se encuentran el modelo de votantes, el proceso de contacto, el proceso de exclusión simple asimétrico (ASEP), la dinámica de Glauber y, en particular, el modelo de Ising estocástico.

Los IPS se definen normalmente a través de su generador de Markov, que da lugar a un proceso de Markov único utilizando semigrupos de Markov y el teorema de Hille-Yosida. El generador se da de nuevo mediante las llamadas tasas de transición ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$, donde ${\displaystyle \Lambda \subset G}$ es un conjunto finito de sitios y ${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$ con ${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$ para todo ${\displaystyle i\notin \Lambda }$. Las tasas describen los tiempos de espera exponenciales del proceso para saltar de la configuración ${\displaystyle \eta }$ a la configuración ${\displaystyle \xi }$. De manera más general, las tasas de transición se dan en forma de una medida finita ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$ en ${\displaystyle S^{\Lambda }}$.

El generador ${\displaystyle L}$ de un IPS tiene la siguiente forma. En primer lugar, el dominio de ${\displaystyle L}$ es un subconjunto del espacio de «observables», es decir, el conjunto de funciones continuas de valor real en el espacio de configuración ${\displaystyle \Omega }$. Entonces, para cualquier observable ${\displaystyle f}$ en el dominio de ${\displaystyle L}$, se tiene

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi$ :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]} .

Por ejemplo, para el modelo de Ising estocástico tenemos ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$, ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$, ${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$ si ${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$ para algún ${\displaystyle i\in G}$ y

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

donde ${\displaystyle \eta ^{i}}$ es la configuración igual a ${\displaystyle \eta }$, excepto que se invierte en el sitio ${\displaystyle i}$. ${\displaystyle \beta }$ es un nuevo parámetro que modela la temperatura inversa.