Subfactorial

${\displaystyle n}$	${\displaystyle !n}$
0	1
1	0
2	1
3	2
4	9
5	44
6	265
7	1854
8	14 833
9	133 496
10	1 334 961
11	14 684 570
12	176 214 841
13	2 290 792 932
14	32 071 101 049
15	481 066 515 734
16	7 697 064 251 745
17	130 850 092 279 664
18	2 355 301 661 033 953
19	44 750 731 559 645 106
20	895 014 631 192 902 121
21	18 795 307 255 050 944 540
22	413 496 759 611 120 779 881
23	9 510 425 471 055 777 937 262

Los subfactoriales pueden ser calculados usando el principio de inclusión-exclusión.

${\displaystyle !n=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

También pueden ser calculados de las siguientes formas:

${\displaystyle !n=\int _{0}^{\infty }(x-1)^{n}e^{-x}dx={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}}$

donde ${\displaystyle \Gamma }$ denota la función gamma incompleta, y e es la constante de Euler; o

${\displaystyle !n=\left[{\frac {n!}{e}}\right]\qquad {\mbox{ para }}n\geq 1}$

donde ${\displaystyle x}$ denota la función parte entera más cercana.

${\displaystyle !n=!(n-1)\;n+(-1)^{n}\qquad {\mbox{ para }}n\geq 1}$

${\textstyle !n=(n-1)\;(!(n-1)+!(n-2))\qquad {\mbox{ para }}n\geq 2}$

${\displaystyle !n=(n-1)\;a_{n-2}\qquad {\mbox{ para }}n\geq 2,}$

donde la secuencia ${\displaystyle {\bigl (}a_{n}{\bigr )}_{n}}$ está dada por ${\displaystyle \;a_{0}=a_{1}=1}$ y ${\displaystyle a_{n}=n\;a_{n-1}+(n-1)\;a_{n-2}}$; esta es la secuencia OEIS:A000255

Los subfactoriales también pueden ser calculados recursivamente:

${\displaystyle !n=n!-\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}(!(n-k))}$

Intuitivamente, la expresión anterior puede deducirse a partir de las siguientes observaciones:

• Para ${\displaystyle n}$ objetos existen un total de ${\displaystyle n!}$ permutaciones (primer término de la derecha).
• De los ${\displaystyle n}$ objetos escogemos un número ${\displaystyle k}$ objetos que mantendremos fijos (sumatorio en ${\displaystyle k}$).
• Existen un total de ${\displaystyle {n \choose k}}$ formas posibles de fijar ${\displaystyle k}$ objetos de una muestra de ${\displaystyle n}$.
• Asimismo, los ${\displaystyle (n-k)}$ objetos no fijados pueden permutarse de ${\displaystyle$ !(n-k)} formas diferentes (término dentro del sumatorio).

Recursivamente, el factorial de un número puede calcularse partiendo de que ${\displaystyle !1=0}$ y ${\displaystyle !2=1}$ como ${\displaystyle !n=(n-1)(!(n-1)+!(n-2)).\,}$

La notación !n no es universalmente aceptada. Da ambigüedad a la notación de la función factorial si hay algún valor que precede al subfactorial, lo cual hace que usualmente se necesite un inusual ordenamiento de los factores (véase por ejemplo las fórmulas arriba), o paréntesis rodeando el subfactorial. Sin embargo, existen otras notaciones que carecen de esta ambigüedad, como D_n, d_n, o n¡ (que usa el signo de exclamación invertido).^[1]

El número 148 349 es el único número que es igual a la suma de los subfactoriales de sus dígitos:

${\displaystyle 148349=!1+!4+!8+!3+!4+!9}$

El uso de subfactoriales a veces es permitido en el juego matemático llamado Cuatro cuatros, donde el hecho que !4 sea 9 es útil.

• David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (2nd ed 1997) ISBN 0 14 026149 4, p.104