Teorema de Carlson

En matemáticas, dentro del ámbito del análisis complejo, el teorema de Carlson es un teorema de unicidad descubierto por Fritz David Carlson. De manera informal, establece que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápido en el infinito no pueden coincidir en los números enteros. El teorema puede obtenerse a partir del teorema de Phragmén-Lindelöf, que a su vez es una extensión del Principio del módulo máximo.

El teorema de Carlson se suele invocar para defender la unicidad de una expansión en serie de Newton. El teorema de Carlson tiene análogos generalizados para otras expansiones.

Supongamos que $f$ satisface las tres condiciones siguientes. Las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de $f$ en el infinito, mientras que la tercera establece que $f$ se anula en los enteros no negativos.

$f (z)$ es una función entera de tipo exponencial, lo que significa que $|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C}$ para algunos valores reales $C$ , $τ$ .
Existe $c < π$ tal que $|f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R}$
$f (n) = 0$ para todo entero no negativo $n$ .

Entonces $f$ es identicamente cero.

Precisión

Primera condición

La primera condición puede relajarse: basta con suponer que $f$ es analítica en $Re z > 0$ , continua en $Re z \geq 0$ , y que satisfaga $|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \operatorname {Re} z>0$ para algunos valores reales $C$ , $τ$ .

Segunda condición

Para ver que la segunda condición es estricta, consideremos la función $f (z) = sin(π z)$ . Esta función se anula en los números enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de $c = π$ , y de hecho no es identicamente cero.

Tercera condición

Un resultado de Rubel (1956) relaja la condición de que $f$ se anule en los números enteros. Concretamente, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si $f$ se anula en un subconjunto $A \subset {0, 1, 2, ...}$ de densidad superior 1, lo que significa que

\limsup _{n\to \infty }

{\frac {\left|A\cap \{0,1,\ldots ,n-1\}\right|}{n}}=1.

Esta condición es estricta, lo que significa que el teorema no se cumple para conjuntos $A$ de densidad superior menor que 1.

Aplicaciones

Supongamos que $f (z)$ es una función que posee todas las diferencias finitas $\Delta ^{n}f(0)$ . Consideremos entonces la serie de Newton $g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\,\Delta ^{n}f(0)$ donde ${\textstyle {z \choose n}}$ es el coeficiente binomial y $\Delta ^{n}f(0)$ es la $n$ -ésima diferencia hacia adelante. Por definición, se tiene entonces que $f (k) = g (k)$ para todos los enteros no negativos $k$ , de modo que la diferencia $h (k) = f (k) - g (k) = 0$ . Esta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si $h$ cumple las demás, entonces $h$ es identicamente cero, y las diferencias finitas de $f$ determinan de forma única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para $f$ y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces $f$ es única.

Teorema de Carlson

Precisión

Primera condición

Segunda condición

Tercera condición

Aplicaciones

Véase también

Referencias

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